Ismatov Qurbonning Mavzu: Chiziqli operatorlar spektri va rezolventasi Ilmiy rahbar: katta o’qituvchi Do’stov s navoiy-2021 reja

2.1-teorema. Agar bo‘lsa, u holda va

tenglik o‘rinli.

Isbot. Funksional hamda operator normasining xossalariga ko‘ra,

Bu yerdan

tengsizlikka ega bo‘lamiz. Demak,

(2.4)

Endi shartni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy element bo‘lsin, deymiz. Ko‘rinib turibdiki, Xan-Banax teoremasining natijasiga ko‘ra, shunday funksional mavjudki, va ya’ni

Bu yerdan,

tenglikka ega bo‘lamiz. U holda

munosabatdan

(2.5)

tengsizlikni olamiz. (2.4) va (2.5) munosabatlardan

tenglik kelib chiqadi.

Chiziqli operatorning spektri va rezolventasi

Operatorlar nazariyasida spektr tushunchasi eng muhim tushunchalardan biridir. Chiziqli operator spektrini o‘rganish matematik fizika uchun muhimdir. Masalan, kvant mexanikasida sistema Hamiltoniani - bu Hilbert fazosidagi o‘z-o‘ziga qo‘shma operatordir, uning spektrini o‘rganish sistema fizik xususiyatlarini o‘rganish uchun muhimdir. Spektr tushunchasini dastlab chekli o‘lchamli fazolardagi chiziqli operatorlar uchun eslatamiz.

Faraz qilaylik, chiziqli operator berilgan bo‘lsin. Agar biror son uchun



tenglama nolmas yechimga ega bo‘lsa, u holda son operatorning xos qiymati deyiladi, unga mos keluvchi nolmas yechim esa xos vektor deyiladi. Ma’lumki, har bir chiziqli operatorga matritsa mos keladi va aksincha. Chiziqli algebra kursidan ma’lumki, agar son operatorning xos qiymati bo‘lsa, bo‘ladi va aksincha. matritsa determinanti parametr ning darajali ko‘phadi bo‘ladi va tenglama ko‘pi bilan ta ildizga ega, ya’ni chiziqli operator ko‘pi bilan ta xos qiymatga ega. Agar son operatorning xos qiymati bo‘lsa ga teskari operator mavjud emas va aksincha. Agar son operator uchun xos qiymat bo‘lmasa, ya’ni bo‘lsa, u holda ga teskari operator mavjud va u fazoning hamma yerida aniqlangan bo‘ladi.

3.1-teorema. chiziqli operator chegaralangandir.