Ismatov Qurbonning Mavzu: Chiziqli operatorlar spektri va rezolventasi Ilmiy rahbar: katta o’qituvchi Do’stov s navoiy-2021 reja

Chiziqli operatorlarga misollar

1-misol. - ixtiyoriy chiziqli normalangan fazo bo‘lsin.

,

akslantirish birlik operator deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring.

Yechish. Bu operatorning chiziqliligi va uzluksizligi quyidagi tengliklardan bevosita kelib chiqadi:

, .

Qo‘shimcha qilib aytishimiz mumkinki, uning aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi va yadrosi uchun quyidagilar o‘rinli:

.

2. va ixtiyoriy chiziqli normalangan fazolar bo‘lsin.

operator nol operator deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring.

Yechish. Nol operatorning chiziqliligi va uzluksizligi bevosita ta’rifdan kelib chiqadi. Uning aniqlanish sohasi, qiymatlar sohasi va yadrosi uchun quyidagilar o‘rinli:

.

3. Aniqlanish sohasi bo‘lgan va fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi

,

operatorni qaraymiz. Bu operator differensial operator deyiladi. Uni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring.

Yechish. Uning chiziqli ekanligini ko‘rsatamiz. Buning uchun ixtiyoriy elementlarning chiziqli kombinatsiyasi bo‘lgan elementga operatorning ta’sirini qaraymiz:

.

Biz bu yerda yig‘indining hosilasi hosilalar yig‘indisiga tengligidan, hamda o‘zgarmas sonni hosila belgisi ostidan chiqarish munkinligidan foydalandik. Demak, operator chiziqli ekan. Uni nol nuqtada uzluksizlikka tekshiramiz. Ma’lumki, , bu yerda - fazoning nol elementi, ya’ni . Endi nolga yaqinlashuvchi ketma-ketlikni tanlaymiz. Umumiylikni buzmagan holda deymiz.

.

Ikkinchi tomondan,

.

Demak, operator nol nuqtada uzluksiz emas ekan. 2-teoremaga ko‘ra differensial operator aniqlanish sohasining barcha nuqtalarida uzilishga ega.

Uning qiymatlar sohasi va yadrosi uchun quyidagilar o‘rinli:

.

4. Endi fazoni o‘zini-o‘ziga akslantiruvchi operatorni quyidagicha aniqlaymiz:

(1)

Bu operator integral operator deyiladi. Bu yerda funksiya - kvadratda aniqlangan, uzluksiz. integral operator-ning o‘zagi (yadrosi) deyiladi. operatorni chiziqlilik va uzluksizlikka tekshiring.

Yechish. Ma’lumki, ixtiyoriy uchun funksiya va larning uzluksiz funksiyasidir. Matematik analiz kursidan ma’lumki,

integral parametr ning uzluksiz funksiyasi bo‘ladi. Bulardan operatorning aniqlanish sohasi uchun tenglik o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Integral operatorning chiziqli ekanligi integrallash amalining chiziqlilik xossasidan kelib chiqadi, ya’ni ixtiyoriy va lar uchun

tengliklar o‘rinli. Endi integral operator ning uzluksiz ekanligini ko‘rsatamiz. ixtiyoriy tayinlangan element va unga yaqinlashuvchi ixtiyoriy ketma-ketlik bo‘lsin. U holda

(2)

Bu yerda

.

ning chekli ekanligi kesmada uzluksiz funksiyaning chegaralangan ekanligidan kelib chiqadi. Agar (2) tengsizlikda da limitga o‘tsak,

ekanligini olamiz. Agar tengsizlikni hisobga olsak,

.

Shunday qilib, integral operator ixtiyoriy nuqtada uzluksiz ekan.

integral operatorning qiymatlar sohasi va yadrosi integral operatorning o‘zagi - funksiyaning berilishiga bog‘liq. Masalan, bo‘lsa, operatorning qiymatlar sohasi o‘zgarmas funksiyalardan iborat, ya’ni , uning yadrosi o‘zgarmasga ortogonal funksiyalardan iborat, ya’ni



8-ta’rif. Bizga normalangan fazoning to‘plami berilgan bo‘lsin. Agar shunday son mavjud bo‘lib, barcha uchun tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, to‘plam chegaralangan deyiladi.