Islombekning «Differensial tenglamalar va matematik fizika» fanidan kurs ishi

I-BOB. CHIZIQLI ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR

1.1.Umumiy tushunchalar

Differensial tenglamalar — nomaʼlum funksiyalar, ularning turli tartibli hosilalari va erkli oʻzgaruvchilar ishtirok etgan tenglamalar. Bu tenglamalardanomaʼlumfunksiyai orqali belgilangan boʻlib, birinchi ikkitasida i bitta erkli oʻzgaruvchi t ga, keyingilarida esa mos ravishda x, t va x, u, z erkli oʻzgaruvchilarga bogʻliqdir. Differensial tenglama nazariyasi 17-asr oxirida differensial va integral hisobning paydo boʻlishi bilan bir vaqtda rivojlana boshlagan. Differensial tenglama matematikada, ayniqsa, uning tatbiqlarida juda katta ahamiyatga ega. Fizika, mexanika, iqtisodiyot, texnika va boshqa sohalarning turli masalalarini tekshirish differensial tenglamani yechishga olib keladi.
Xususiy hosilali differensial tenglama Bu tenglamalarning oddiy differensial tenglamadan farqli muhim xususiyati shundan iboratki, ularning barcha yechimlari toʻplami, yaʼni "umumiy yechimi" ixtiyoriy oʻzgarmaslarga emas, balki ixtiyoriy funksiyalarga bogʻliq boʻladi; umuman, bu ixtiyoriy funksiyalarning soni differensial tenglamaning tartibiga teng; ularning erkli oʻzgaruvchilari soni esa izlanayotgan yechim oʻzgaruvchilari sonidan bitta kam boʻladi. Bir nomaʼlumli 1-tartibli xususiy hosilali Differensial tenglamani yechish oddiy differensial tenglama sistemasini yechishga olib keladi. Tartibi birdan yuqori boʻlgan xususiy hosilali differensial tenglama nazariyasida Koshi masalasi bilan bir qatorda turli chegaraviy masalalar tekshiriladi.
Fan va texnikaning koʻplab masalalari oddiy differensial tenglamalarni yechishga olib keladi.
Oddiy differensial tenglama deb erkli oʻzgaruvchi (argument), izlanayotgan funksiya va uning bir qator hosilalarini oʻz ichiga olgan tenglamaga aytiladi. Oddiy differensial tenglama umumiy holda quyidagicha yoziladi:

Bu yerda x– erklioʻzgaruvchi – izlanayotgan funksiyaning i-tartibli hosilasi, = ; – tenglamaning tartibi. n-tartibli oddiy differensial tenglamaning umumiy yechimi ta oʻzgarmaslarni oʻz ichiga oladi, yaʼni uning umumiy yechimi quyidagicha yoziladi:

Oddiy differensial tenglamaning yagona yechimini topish uchun ta qoʻshimcha shartlar kiritish lozim boʻladi.
Agar bu qoʻshimcha shartlar bitta nuqtada berilsa, u holda bunday masala Koshi masalasi deb ataladi. Koshi masalasining qoʻshimcha shartlari boshlangʻich shartlar deb ataladi.
Agar qoʻshimcha shartlar bittadan ortiq nuqtalarda berilsa, yaʼni erkli oʻzgaruvchining har xil qiymatlarida berilsa, u holda bunday masala chegaraviy masala deb ataladi. Bunday masalaning qoʻshimcha shartlari chegaraviy shartlar deb ataladi.
Xususan, = 1 boʻlganda gap faqat Koshi masalasi haqida ketadi.
Koshi masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik:
1)
2)
Chegaraviy masalasining qoʻyilishiga misollar keltiraylik:
1)
2)
Bunday masalalarni analitik usullar bilan faqatgina maxsus turdagi tenglamalar uchungina yechish mumkin.
Qolgan hollarda biror sonli usulga murojaat qilishga toʻgʻri keladi.