Islombekning «Differensial tenglamalar va matematik fizika» fanidan kurs ishi

1.2.Bir jinsli va bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamalar.

Ushbu
(1)
Tenglamani o’rganamiz. (1) tenglama birinchi tartibli xususiy hosilali bir jinsli chiziqli tenglama deyiladi. (1) tenglamaning koeffitsientlari berilgan nuqtaning biror atrofida aniqlangan, o’zlarining birinchi tartibli hosilalari bilan uzluksiz hamda bir vaqtda nolga aylanmaydi, deb faraz qilamiz. Masalan, aniqlik uchun deb hisoblashiz mumkin.
(1) Tenglama bilan bir qatorda ushbu
(2)
Simmetrik shakldagi oddiy differensial tenglamalar sistemasini tekshiramiz. Bu sistema birinchi tartibli xususiy hosilali chiziqli bir jinsli tenglamaga mos simmetrik ko’rinishdagi oddiy differensial tenglamalar sistemasi deyiladi.
koeffitsientlarga nisbatan yuqorida qo’yilgan shartlarga asosan (2) sistema ta bog’liqsiz birinchi integrallarga ega:
(3)
Buning to’g’riligi (2) sistemaning ushbu ta
(4)
tenglamalarning normal sistemasiga teng kuchliligidan kelib chiqadi. Birinchi integrallarning (3) sistemasi o’zgaruvchilarning fazosida ta parametrli chiziqlar oilasini aniqlaydi. Bu chiziqlar (1) tenglamaning xarakteristikalari deyiladi.
(2) Sistema ixtiyoriy ( )= birinchi integralining chap qismi xususiy hosilali (1) tenglamaning yechimidan iborat bo’ladi. Bundan tashqari, (1) tenglamani qanoatlantiradigan ixtiyoriy funksiyani o’zgarmas songa tenglashtirilsa, (2) sistemaning birinchi integrali hosil bo’ladi.
Aytaylik, (2) sistemaning chiziqli bog’liqsiz integrallari
(5)
ko’rinishida topilgan bo’lsin. U holda
(6)
funksiya ( shu jumladan = ham) (1) tenglamaning yechimi bo’ladi, bu yerda -ixtiyoriy funksiya bo’lib, bo’yicha uzluksiz hosilalarga ega. (6) ifoda (4) tenglamaning umumiy yechimi deyiladi.
Ma’lumki, oddiy differensial tenglamalarning umumiy yechimida ixtiyoriy o’zgarmaslar qatnashadi. Xususiy hosilali (1) tenglamaning (6) umumiy yechimi esa ixtiyoriy o’zgarmaslarni emas, balki ixtiyoriy funksiyalarni o’z ichiga olganligiga e’tibor berish kerak.
Shunday qilib, (1) tenglamaning umumiy yechimini topish masalasi (1) tenglamaga mos simmetrik shakldagi (2) oddiy differensial tenglamalar sistemasining ta bog’liqsiz integrallarini topish masalasiga teng kuchli ekan.
Ikkita erkli o’zgaruvchili holni qaraylik. Bu holda, noma’lum funksiyani , erkli o’zgaruvchilarni va bilan belgilab, (1) tenglamaning o’rniga
(7)
tenglamaga ega bo’lamiz. Oddiy differensial tenglamalarning simmetrik shakldagi (2) sistemasi bu holda bitta
(8)
differensial tenglamaga aylanadi. Agar funksiya shu tenglamaning integrali bo’lsa u holda
(9)
funksiya (bunda funksiya ning ixtiyoriy uzluksiz differensiallanuvchi funksiyasi (7) tenglamaning umumiy yechimi bo’ladi.
Agar va uch o’lchovli fazodagi nuqtaning to’g’ri burchakli koordinatalari sifatida qaralsa, u holda (7) tenglamaning yechimiga biror sirt mos keladi. Bu sirt (7) tenglamaning integral sirti deyiladi.
(1) Chiziqli bir jinsli tenglama uchun Koshi masalasi quyidagicha qo’yiladi. (1) tenglamaning hamma yechimlari ichidan
(10)
boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan
(11)
Yechimini topish kerak, bu yerda -berilgan uzluksiz differensiallanuvchi funksiya.
funksiya ikki o’zgaruvchili bo’lgan holda, ya’ni (7) tenglama uchun Koshi masalasi da
(12)
boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan
(13)
yechimni topishdan iboratdir, bu yerda -berilganfunksiya. Geometrik nuqtai nazardan bu shuni anglatadiki, (7) tenglamadan topiladigan barcha integral sirtlar ichidan tekislikka parallel bo’lgan tekislikda yotuvchi (12) egri chiziq orqali o’tuvchi (13) integral sirtni topish kerak.
Xususiy hosilali tenglama uchun qo’yilgan Koshi masalasining oddiy differensial tenglama uchun qo’yilgan Koshi masalasidan farqi shundaki, oddiy tenglama uchun Koshi masalasi berilgan nuqta orqali o’tuvchi integral egri chiziqni topishdan iborat bo’lgani holda xususiy hosilali (7) tenglama uchun Koshi masalasi berilgan egri chiziq orqali o’tuvchi integral sirtni topishdan iboratdir.
(1) Tenglamaning umumiy yechimi

ko’rinishidagi (6) formula bilan berilishi ma’lum. Bu formulani (10) boshlang’ich shart bilan taqqoslab,
(14)
shartni qanoatlantiradigan funksiyani topish kerakligini ko’ramiz.
Agar
(15)
belgilashlar kiritsak, u holda (14) tenglik quyidagicha yoziladi:
(16)
Agar deb faraz qilsak, u holda (15) sistema
ga nisbatan (hech bo’lmaganda( ) nuqtaning atrofida) yechiladi. (15) sistemani ga nisbatan yechib topamiz:

Endi funksiya sifatida

funksiyani olsak, (16) shart bajariladi.
Shunday qilib,

funksiya Koshi masalasining yechimini beradi. Bu yerdagi funksiya (10) boshlang’ich shartda qatnashayotgan funksiyadir.
Bir jinsli bo’lmagan ushbu
, (1)
chiziqli tenglamani yechish uchun unga mos oddiy differensial tenglamalar sistemasini
(2)
yozib olish va shu sistemani ta
(3)
bog’liqsiz birinchi integrallarini topish kerak.

1. 
   Sistemaning umumiy yechimi
   

(4)
oshkormas ko’rinishida yoziladi, bu yerda -ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya.
Xususan, agar noma’lum funksiya (3) birinchi integrallardan faqat bittasida, masalan, oxirgisida qatnashsa, u holda umumiy yechim
(5)
ko’rinishda yozilishi ham mumkin, bu yerda -ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiya. (5) tenglikni ga nisbatan yechib, (1) tenglamaning umumiy yechimini oshkor ko’rinishda topamiz.
Bir jinsli bo’lmagan tenglama uchun Koshi masalasi bir jinsli tenglamadagi kabi qo’yiladi. (1) tenglamaning hamma yechimlari ichidan
(6)
boshlang’ich shartni qanoatlantiradigan
(7)
yechimni topish kerak, bu yerda -berilgan uzluksiz differensiallanuvchi funksiya.
Izlanayotgan funksiya ikki o’zgaruvchili bo’lgan holda, ya’ni
(8)
tenglamani qanoatlantirib, berilgan
(9)
chiziq orqali o’tuvchi sirtni aniqlash uchun quyidagi
(10)
sistemaning
(11)
ikkita bog’liqsiz birinchi integrallarini topamiz, so,ngra topilgan birinchi integrallarda larning o’rniga ularning (9) ifodalarini qo’yamiz. Natijada
(12)
ko’rinishidagi ikkita tenglamani olamiz. Ulardan t parametrni yo’qotib, munosabatga ega bo’lamiz. Bu yerda va o’zgarmaslarning o’rniga (11) birinchi integrallarning chap tomonlarini qo’yib, izlanayotgan yechimni olamiz.