Islombekning «Differensial tenglamalar va matematik fizika» fanidan kurs ishi

II-BOB. CHIZIQLI BO’LMAGAN ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMALAR

2.1. Birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarda to’liq integral.

Avval izlanayotgan funksiya ikkita erkli o’zgaruvchiga bog’liq bo’lgan holni o’rganamiz. Uchta o’zgaruvchili birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalar
(1)
ko’rinishda bo’ladi, bu yerda .
Birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamaning ikkita ixtiyoriy o’zgarmaslarga bog’liq yechimi uning to’liq integrali deyiladi. To’liq integral oshkormas ko’rinishda quyidagicha yoziladi:
(2)
Boshqacha qilib aytganda, to’liq integral uchta o’zgaruvchi va ikkita ixtiyoriy o’zgarmas orasidagi shunday munosabatki, undan va uni erkli o’zgaruvchilar bo’yicha differensiallash natijasida hosil bo’ladigan munosbatlardan o’zgarmaslarni chiqarib tashlash natijasida berilgan tenglama hosil bo’ladi. Shunga asosan, (1) tenglama ushbu
(3)
Sistemadan va larni chiqarish natijasida hosil bo’lgan tenglamaga teng kuchlidir. Birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamalarning hamma yechimlarini to’liq integraldan o’zgarmaslarni variatsiyalash usuli bilan hosil qilish mumkinligi Lagranj tomonidan ko’rsatilgan.
Faraz qilaylik, va lar o’zgaruvchilarning biror funksiyalari bo’lsin. ning o’zgaruvchilar bo’yicha hosilalar, ya’ni va lar ushbu
(5)
Bu tenglamalardan va ni aniqlash kerak. Bu yerda uchta hol bo’lishi mumkin:
Agar
(6)
Tengliklar bajarilsa, (4) tenglamalar qanoatlantiradi. (6) tenglamalarni va ga nisbatan yechish natijasida hosil bo’lgan va ning funksiyalarini, ya’ni va ning qiymatlarini (2) ga qo’ysak, hosil bo’lgan ifoda (1) tenglamaning ixtiyoriy o’zgarmaslarga ham, ixtiyoriy funksiyalarga ham bog’liq bo’lmagan yechimidan iborat bo’ladi. Bunday yechim maxsus integral deyiladi.
2) Endi bo’lsin. Bu holda , bo’lib, biz to’liq integralga qaytgan bo’lamiz.
3) Umumiy holda, (5) ni ikki noma’lumli ikkita chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi deb qarasak, uning yechimga ega bo’lishi uchun ushbu
(7)
shartning bajarilishi zarurligi kelib chiqadi. (7) tenglik va o’rtasida funksional bog’liqlik mavjudligini ko’rsatadi. Agar yoki bo’lsa, u holda bu bog’liqlikni
(8)
Ko’rinishda yozish mumkin, bu yerda - ixtiyoriy funksiya. (8) ga asosan, (5) sistema quyidagi bitta munosabatga keladi:
.
Agar nu tenglikdan ni va ning funksiyasi sifatida topish mumkin bo’lsa, u holda (8) tenglamadan erkli o’zgaruvchilarning funksiyasi sifatida topamiz. va ning topilgan qiymatlarini (2) ga qo’yib, (1) tenglamaning yechimini hosil qilamiz. Differensiallanuvchi funksiyani ixtiyoriy tanlab olingandagi yechimlarning bunday to’plami (1) tenglamaning umumiy integrali deyiladi. Ixtiyoriy funksiyaning har bir tanlab, olinishiga, umuman aytganda, umumiy integralga kiruvchi biror xususiy yechim mos keladi. Shu mano’da, umumiy yechim ixtiyoriy funksiyaga bog’liq bo’ladi deb aytishimiz mumkin.
Birinchi tartibli xususiy hosilali tenglamaning to’liq umumiy va maxsus integrallarini soddagina geometrik talqin qilish mumkin. Xususiy hosilali tenglamaning yechimi ( ) koordinatalar fazosida sirtni aniqlaydi, bu sirt integral sirt deb ataladi. Beshta ( ) miqdorlar to’plami element deyiladi, bunda biror nuqtaning koordinatalari, va esa shu nuqtadan o’tuvchi tekislikning burcak koeffitsientlari. Shunga asosan (1) tenglamaning yechimini toppish masalasi quyidagicha qo’yilishi mumkin: shunday sirt topilsinki, bu sirtning nuqtalari va urinma tekisliklarning burchak koeffitsientlaridan tashkil topgan elementlar (1) munosabatni qanoatlantirsin. (2) to’liq integral ikkita parametrga bog’liq bo’lgan sirtlar oilasidan iboratdir.
Dastlabki (1) tenglama izlanayotgan sirtlarga o’tkazilgan normallarning yo’nalishigagina shartlar qo’yganligi uchun normallari integral sirtlarning normallari bilan ustma-ust tushgan har qanday sirt integral sirt bo’ladi. Shunga binoan, integral sirtlar ikki yoki bir parametrli oilasining o’ramalari ham integral sirtlar bo’ladi, chunki, haqiqatdan ham, o’ramaga o’tkazilgan normal oilaning shu nuqtadan o’tadigan integral sirtlarining normali bilan ustma- ust tushadi.
Ikki parametrli sirtlar oilasining o’rama sirti
, (9)
Tenglamalardan topiladi.
ni parametrining ixtiyoriy differensiallanuvchi funksiyasi deb qarab, integral sirtlarning ikki parametrli =0 oilasidan ixtiyoriy tarzda bir parametrli oilani ajratib olib va bir parametrli oilasining o’ramasini topib, yana integral sirtni hosil qilamiz. Bu bir parametrli sirtlar oilasining o’rama sirti
, (10)
tenglamalardan topiladi.
Shunday qilib, to’liq integralnio bilgan holda ixtiyoriy funksiyaga bog’liq bo’lgan holda, deb olib ( -ixtiyoriy o’zgarmas),

munosabatlarga ega bo’lamiz, bu yerdan

to’liq integral bo’ladi.
Agar (1) tenglama ko’rinishga keltirilgan bo’lsa, uholda debolib ( -ixtiyoriyo’zgarmas) vatenglamani , ga nisbatanyechib (agarimkonibo’lsa), topamiz:
,

Bu yerdan

To’liq integralni topamiz.
3) Agar (1) tenglama ko’rinishgaegabo’lsa, uholda , debolib,

Tenglamaniolamiz. Bu oddiy differensial tenglamani integrallab, ( - ixtiyoriy o’zgarmas ), yoki

to’liq integralni olamiz.
4) Agar (1) tenglama Klero tenglamasini eslatadigan quyidagi

Ko’rinishda bo’lsa, u holda, bevosita o’rniga qo’yish yordamida, to’liq integral ko’rinishda bo’lishini ko’rish qiyin emas.