Ионизучаетсясамымпервымизвсехопределённыхинтегралов вовсех курсахматематическогоанализа

ЧерезинтегралыДарбу

Интеграл Римана можно определитьальтернативным способом через интегралыДарбу.Обычнотакое определение доказываетсякак свойство,атеоремаобих

эквивалентностиназываетсятеоремойДарбу.Преимуществатакогоопределенияв
том,что оно позволяет обойтись без понятияразмеченного разбиения,пределапо разбиению и даётболее наглядный взгляд на понятие интегрируемости.
Для неразмеченного разбиения обозначим за точную нижнюю грань функции на отрезке , за — точную верхнюю грань.


НижнейсуммойДарбуназывается .
ВерхнейсуммойДарбуназывается .^[5]
НижниминтеграломДарбуназывается .
ВерхниминтеграломДарбуназывается .^[6]
ИнтегралыДарбу существуютдля любой ограниченной на отрезкеинтегрирования функции.ЕслиинтегралыДарбусовпадают иконечны,тофункция называется

интегрируемойпоРиманунаотрезке
,асамоэточисло—интеграломРимана.^[7]

Интеграл Дарбу можетбыть определён такжечерез предел по неразмеченным разбиениям,при диаметре разбиения,стремящемуся к нулю.Пределпо неразмеченным разбиениям определяетсяаналогично пределу по размеченным,но мы дадим формализацию и этого понятия тоже. Пусть —функция,ставящая всоответствиенеразмеченномуразбиениюнекотороечисло. Число называется пределом функции при диаметре разбиений, стремящемуся к нулю, если




Обозначение: [8]
Такой пределтакже является частным случаем предела по базе.Базой здесь будет множество ,где .^[9]Тогда:
НижниминтеграломДарбуназывается .
ВерхниминтеграломДарбуназывается .^[10]

Интегрируемыефункции

Функция,для которой интеграл Римана в пределах от до существует (если предел равен бесконечности, то считается, что интеграл несуществует),называется
интегрируемойпо Риманунаотрезке[a;b].^[11]Множествофункций , интегрируемых на отрезке , называется множеством интегрируемых на функций и обозначается .
Основными наиболееудобнымусловиеминтегрируемости является критерий Лебега: множествоинтегрируемыхна отрезкефункцийэтовточностимножество ограниченных и непрерывных почти всюдуна этом отрезкефункций.Этоткритерий позволяетпрактически сразуполучитьбольшинство достаточных условий интегрируемости. Однако доказательство данного утверждения довольно сложное,из-за чего при методическом изложении его часто опускаюти основывают дальнейшиедоказательстванакритерииРимана. Доказательствасуществования интеграла Римана на основе критерия Римана получаются сложнее, чем на основе критерияЛебега.