Ионизучаетсясамымпервымизвсехопределённыхинтегралов вовсех курсахматематическогоанализа

Достаточныеусловияинтегрируемости

Все перечисленные далее достаточные условия интегрируемости практически сразуследуют из критерия Лебега.

Непрерывнаянаотрезкефункцияинтегрируемананём^[24]
Ограниченнаянаотрезке функция,разрывнаяв конечном числе еготочек, интегрируема на этом отрезке^[25]
Монотоннаянаотрезкефункция,интегрируемананём^[26]
Произведение интегрируемой функции на число интегрируемо^[27]Сумма интегрируемых функций интегрируема^[27]
Произведениеинтегрируемыхфункцийинтегрируема^[28]
Если отношение двух интегрируемых функций ограничено, то оно интегрируемо. ^{Частный случай — если множество значений знаменателя не имеет предельной} точкой.^[14]
Модульинтегрируемойфункцииинтегрируем.^[29]
Композиция функций , где — непрерывна на отрезке ,а — интегрируема на , интегрируема на .^[30]
Если функция интегрируема на некотором отрезке,то она интегрируема на любом из его подотрезков.^[31]
Пусть и функция интегрируема на и .Тогдаона интегрируемана .^[32]
Свойства

Дальнейшие свойствавыполняютсятолько если соответствующие интегралы существуют.

Необходимое условие интегрируемости.Интегрируемаянаотрезке ограничена на нём.^[33]
Неотрицательность.Длянеотрицательнойнаотрезке функции,


[34]


Положительность. Для неотрицательнойинепрерывнойна отрезке ^{, которая хотя бы в одной точке отлична от нуля}
[35]
Линейность.


[27]
функция


функции,

Для существования всехэтихтрёхинтеграловдостаточносуществования двухиз них.

Длялюбого


[27]

Из существованияправого интеграласледуетсуществование левого.Если , тои зсуществования левогоследуетсуществованиеправого.

Аддитивность.Дляпроизвольныхчисел


[32]

Для существования всехэтихтрёхинтеграловдостаточнолибосуществования интегралапобольшемуотрезку,либоподвумменьшим.

Монотонность.Пусть и на .Тогда


[34]
Оценка.Пусть , , .Тогда
[36]
Оценкамодуля.Пусть .


[29]

Для существования этихдвухинтеграловдостаточносуществования левого интеграла.

Существуетвариацияэтогосвойстванаслучайпроизвольных и.

[37]


Теорема о среднем.Длялучшегопониманиясначаласформулируем теорему о среднем в несколько упрощённой формулировке.


Среднимзначениемфункции наотрезке называется .




Теорема о среднем гласит: непрерывная на отрезке функция внекоторой точке этогоотрезкапринимает своё среднее значение.


Можно записатьэто условиебез деленияна ,чтобыпокрытьслучай, когда .

Втакойзаписитеоремаосреднемвернадлялюбыхзначений и .
На деле же верно куда более общее условие. Пусть интегрируема на , , .Тогда
[36]
Эту теорему также иногда называютинтегральной теоремой осреднем для отличия от следующей.^[38]
Обобщённая теорема о среднем. Пусть функция интегрируема на отрезке , , , а функция интегрируема и знакопостоянна.
Тогда


[39]


^{Теоремавновьвернадлялюбых и .}
Дляэтойтеоремыможнотакжепривестивариациювслучаенепрерывности .^[40]

Иногда теоремой о среднем называютименно этутеорему,а непредыдущую. Также, дляотличияот последующей,эту теорему называют первой теоремой о среднем.^[41]

Вторая теорема о среднем. Пусть функция интегрируема на отрезке ,а функция монотонна.Тогда
[42]
У второй теоремыо среднем естьвариации для неотрицательных функций. Пусть функция интегрируема на отрезке , а функция неотрицательнаи не возрастает.Тогда


[43]


Пусть функция интегрируема на отрезке , а функция неотрицательнаи не убывает.Тогда
[43]
Независимость отмножеств меры нуль.Если две функции интегрируемы на отрезкеиравны нанёмпочтивсюду,тоихинтегралы такжеравны.Таким образом,значениеинтегралаРимананезависитотзначенияфункциина множествемерынуль.Однакоегосуществованиезависит:кпримерунольи функцияДирихлеравныпочтивсюду,однакоинтегралот первойфункции существует,а от второй нет.
Интегралсверхнимпеременнымпределом



Вычисление



История

Вариациииобобщения

См.также

Примечания



Литература



Ссылки



Источник — https://ru.wikipedia.org/w/index.php? title=Интеграл_Римана&oldid=123544581


Последнийразредактировалась5месяцевназадучастником79.111.22.159