Ионизучаетсясамымпервымизвсехопределённыхинтегралов вовсех курсахматематическогоанализа

ИнтегралРимана
Текущаяверсиястраницыпоканепроверяласьопытнымиучастникамииможетзначительноотличаться отверсии,проверенной 13 апреля 2022 года;проверки требуют3 правки.
Интегра́лРи́мана— наиболеешироко используемый видопределённого интеграла. Очень часто под термином «определённый интеграл» понимается именно интеграл Римана,ионизучаетсясамымпервымизвсехопределённыхинтегралов вовсех курсахматематическогоанализа.^[1]ВведёнБернхардомРиманомв1854году,и
являетсяоднойизпервыхформализацийпонятияинтеграла.^[2]


ГеометрическийсмыслинтегралаРимана
Неформальноеописание

Римановасумма(суммарнаяплощадьпрямоугольников)впределе,приизмельченииразбиения,даетплощадьподграфика.
ИнтегралРиманаестьформализацияпонятияплощадиподграфиком.Разобьём
отрезок, над которым мы ищем площадь, на конечное число подотрезков.На каждом из подотрезков выберем некоторую точку графикаи построим вертикальный прямоугольникс подотрезкомв качествеоснованиядотойсамойточкиграфика.
Рассмотрим фигуру, полученную из таких прямоугольников.Площадь S такой фигуры при конкретном разбиении на отрезки длинами будетзадаваться суммой:

Интуитивно понятно, что если мы будем уменьшать длины этих подотрезков,то площадьтакойфигурыбудетвсёбольшеибольшеприближатьсякплощадипод графиком.ИменноэтозамечаниеиприводиткопределениюинтегралаРимана.^[3]

Определение

Классическоеопределение

Пустьнаотрезке
^.
определенавещественнозначнаяфункция .Будемсчитать

Для определения интеграла прежде всего необходимо сначала определить понятие разбиения отрезка и остальные связанные сним определения.

Разбиением(неразмеченным)отрезка назовёмконечноемножествоточек
отрезка ,вкотороевходятточки и .Каквидноизопределения,вразбиение
всегда входятхотябыдветочки.Точкиразбиенияможнорасположитьпо
возрастанию: .Множествовсех
разбиенийотрезка будемобозначать .

Точки разбиения,между которыми нет других точек разбиения,называются соседними.Отрезок,концами которого являются соседние точки разбиения,называется частичным отрезком разбиения. Такиеотрезки обозначим
.Длинучастичногоотрезкаразбиения обозначаимза .Длинанаибольшего из отрезков называется диаметром разбиения. Для разбиения его диаметр обозначим как .
Разметкой разбиения называется конечное упорядоченное множество такое, что .Множество всех разметок разбиения будем обозначать как .
Размеченным разбиением называется упорядоченная пара , где — неразмеченное разбиение, — некоторая разметка .Множество всех размеченных разбиений отрезка будем обозначать как .

Послевсехэтихопределений можно приступитькнепосредственномуопределению интегралаРимана.

Пусть задано некоторое размеченное разбиение .Интегральной суммой Римана функции на размеченном разбиении называется
.ИнтеграломРиманабудетпределэтихсуммпри
диаметреразбиения, стремящемуся к нулю.Однако здесь есть одна тонкость: это пределот функциисотмеченнымиразбиениямив качествеаргументов,ане числами, и обычное понятие пределапри стремлении к точке здесь неприменимо. Необходимодатьформальноеописаниетого,чтожемыимеемввидуподфразой
«пределпридиаметреразбиения,стремящемусякнулю»


Пусть —функция,ставящая всоответствиеразмеченному
разбиению некоторое число. Число называется пределом функции при диаметре разбиений, стремящемуся к нулю, если





Обозначение:
Такой пределявляется частным случаем предела по базе.Действительно,обозначим множествовсехразмеченныхразбиений сдиаметромменьше как . Тогда
множество является базой на множестве ,апредел,
определённыйвыше,есть не чтоиное,как пределпоэтойбазе.Таким образом,для такихпределоввыполняются всесвойства,присущиепределампо базе.
Наконец,мы можем дать определение интеграла Римана. Интегралом Римана ^{функции в пределах от до называется предел интегральных сумм Римана} функции на размеченных разбиениях отрезка при диаметре разбиения,
стремящемуся кнулю. С использованием обозначения интеграла это записывается так:

Интеграл Римана также определяется для случая .Для онопределяется как

^{Для как}


[4]