Ионизучаетсясамымпервымизвсехопределённыхинтегралов вовсех курсахматематическогоанализа

Критерииинтегрируемости

КритерийКоши.Функцияинтегрируемапо Риманунаотрезке ,если




[12]


Данный критерий есть ни что иное, как запись критерия Коши сходимости по базедляслучаяинтегралаРимана.
КритерийДарбу.ФункцияинтегрируемапоРиманунаотрезке ,тогдаитолько
тогда,когдаверхнийинтегралДарбусовпадаетснижнимиконечен.^[13]
НаэтомкритерииосновываетсяальтернативноеопределениеинтегралаРимана.
КритерийРимана.Определимколебаниефункции намножестве как
_.[14]
Тогда -суммойфункции наразбиении называется
_.[15][16]
Функцияинтегрируемапо Риману тогдаи только тогда, когдаонаограниченаи предел -сумм при стремлении диаметра разбиения к нулю равен .^[17]
Инфинум-критерийРимана.ЕстьтакжевариациякритерияРиманас
использованием понятияточной грани, ане предела:функцияинтегрируематогдаи только тогда, когда .^[18][19]
Специальный критерий Римана.Насамом деле в критерии Риманаможно потребовать более слабые условия.
Обозначимза разбиениеотрезкана равныхсегментов.Функцияинтегрируема
на этом отрезке тогда и только тогда, когда последовательность стремится к нулю.^[20]
Специальный инфинум-критерий Римана.Функцияинтегрируеманаотрезке тогда итолькотогда,когда .^[21]
Критерий Дюбуа-Реймона. Определим колебание функции в точкекак точную нижнюю граньзначенияколебанийфункциив окрестностиэтойточки(если область определения функции не включаетполнуюокрестность точки, то тогда рассматриваютсятолько те точки окрестности, которые входят в область определения).
[14]

По сути колебание функции в точке представляет собой отличие функции от ^{непрерывной.Вточкенепрерывности оно равно ,вточкеразрыва оно больше .}

Функцияинтегрируемапо Риману тогдаи только тогда, когдаонаограниченаи для любых множество всех точек в котором имеет нулевую ^{меру Жордана(то есть для любого можетбыть покрыто конечным} множеством интерваловс суммарной длиной меньше ).^[22]
КритерийЛебега.ФункцияинтегрируемапоРиманунаотрезке ,тогдаи
только тогда, когданаэтом отрезке онаограничена, и множество точек, где она ^{разрывна,имеет нулевуюмеру Лебега(то есть для любого может быть} покрыто счётнымсемейством интервалов с суммарной длиной меньше ).^[23]