Insoniyat, jamiyat tashkil eta boshlanganidan beri, boshqaruvning samarali usullari izlanib, tashkillashtirilib kelinmoqda

1.3-Bellman funktsiyasini hisoblash.

Funktsiyalar haqida tasodifiy jarayonlar deb o'ylash g'alati, ammo samarali. Har qanday funktsiyani diskret vaqt bilan martingal sifatida ko'rish mumkin (ko'p turli yo'llar bilan). Ammo doimiy vaqtga ega bo'lish ham foydali bo'lishi mumkin. Jarayonlar funksiyalarga taqlid qilishi mumkin, stoxastik differensial tenglamani yechishda funktsiya foydasini kutish odatiy tanish funksiyalarga taqlid qilishi mumkin. Afzallik shundaki, endi bizda bitta stokastik differensial tenglamaning yechimlari sifatida "barcha" ruxsat etilgan funktsiyalar "sanoqlangan" va berilgan funktsiyani optimallashtiradigan eng yaxshi funktsiyani tanlash to'g'ri boshqarish jarayonini tanlash muammosiga aylanadi. Ammo bunday muammo matematikaning Stokastik Optimal Boshqarish deb nomlangan qismida uzoq vaqtdan beri hal qilingan. Bellman tenglamasi deb ataladigan narsa eng yaxshi boshqaruvni tanlash bo'yicha cheksiz o'lchovli muammoni Bellman tenglamasi deb ataladigan cheklangan o'lchovli (lekin qoida tariqasida chiziqli bo'lmagan) PDEga qisqartiradi. Berilgan optimallashtirish masalasining Bellman funktsiyasi deb ataladigan uning yechimi bizga optimal va optimallashtiruvchilar haqida ko'p ma'lumot beradi. Bu usul klassik Garmonik tahlilda ba'zi qiziqarli natijalar berdi, ehtimollik bilan hech qanday aloqasi yo'q. Ba'zan bu usul bilan olingan natijalar hozirgacha "klassik" dalillarni topa olmadi. Bu, ayniqsa, singulyar integrallarni baholash uchun juda mos keladi, ehtimol klassik singulyar integrallarning ehtimollik tuzilishi tufayli.
Aytaylik, s hajmli xomashyo va n ta texnologik jarayon mavjud bo'lsin. Agar xomashyoning x miqdorini x texnologik jarayonda sarflansa, foyda olinadi.
Maksimal foyda olish uchun xom ashyoni jarayonlar o'rtasida qanday taqsimlash kerak?
Faraz qilaylik, x,i - jarayon uchun ajratilgan xom ashyo miqdori bo'lsin. U holda qo'yilgan resurslarni taqsimlanish masalasining matematik modeli
(1)
ko'rinishini oladi.
(1) chiziqsiz programmalash masalasining o'ziga xoslgi shundan iboratki, uning maqsad funksiyasi va asosiy cheklash funksiyasi separabeldir, ya'ni ular bir o'zgaruvchili funksiyalar yig'indisi shaklida ifodalangan.
Elektremal masalani dinamik programmalash usuli bilan yechishning birinchi bosqichi-berilgan masalani unga o'xshash masalalar oilasiga invariant turkumlashdan iboratdir. Bu bosqich ma'lum ma'noda san'at bo'lib, har bir muayyan holda tadqqotchining tajribasi, sezgisi va mahoratiga bog'liqdir. U (1) masala uchun ixtiyoriy sondagi texnologik jarayonlarga va xom ashyo g'amlamasiga ega bo'lgan resurslarni taqsimlashning ushbu
(2)
masalalarni qarashdan iboratdir. bo'lganda (2) masalalar oiladan boshlang'ich (1) masala olinadi.
(2) masalalar oilasidan olingan ixtiyoriy masala maqsad funksiyasining optimal qiymati Bellman funksiyasi deyiladi va kuydagicha belgilash kiritiladi
(3)
Masalani dinamik programmalash usuli bilan yechishning ikkinchi bosqichi-Bellman funksiyasi uchun tenglamani olishdan iboratdir. Bu bosqichda bellmanning optimallik prinsipi umumiy holda qo'llaniladi. (1) masala uchun uning mohiyati quyida keltirilgan mulohazalar orqali beriladi. Bu mulohazalar oddiy matematik faktlarga asoslangan va yetarlicha universal. Izlanayotgan tenglamani tuzishda invariant joylashning to'g'riligi namoyon bo'ladi. Ikkinchi tomondan, joylashtirish usuli tenglamaning ko'rinishida ham seziladi, k jarayonli va u xom ashyo g'amlamasiga ega bo'lgan (2) masalada k-jarayonga miqdordagi xomashyo ajratamiz. Bunda k jarayondan olinadigan joyda ga teng bo'ladi. 1, 2, ...,k-1 nomerli jarayonlar uchun esa y-z miqdordagi xomashyo qoldi. Aytaylik, bu xomashyo qolgan jarayonlarga optimal taqsimlangan bo'lsin. (3) ning aniqlanishiga ko'ra k-1 ta jarayondan keladigan foydaning maksimal miqdori ga teng bo'ladi.
SHunday qilib, k jarayonga z miqdorda xomashyo ajratilganda barcha k jarayonlar va u xomashyo g'amlamasidan
(4)
foyda olamiz.
Z miqdorni chegarasida o'zgartirib, (4) umumiy foyda maksimal bo'ladigan jarayon uchun xomashyoning optimal miqdori) qiymatni topamiz:
(5)
Ikkinchi tomondan, (3)ga asosan xomashyo miqdori u bo'lganda k ta jarayondan olinadigan maksimal foyda ga tengdir. Bu qiymatni (5) ifodaning o'ng tomoniga tenglashtirib, funksiya uchun
(6)
tenglamani olamiz. Bu Bellman tenglamasi deb ataladi. (6) tenglama funksiyaning nisbatan rekkureng bo'lganligidan uni yechish uchun boshlang'ich shart berilishi kerak. Uni (3) dan bo'lganda topish mumkin:

shunday qilib, Bellman tenglamasi (6) uchun boshlang'ich shart
(7)
ko'rinishga ega bo'ladi.
Masalani dinamik programmalash usuli bilan yechishning uchinchi (va oxirgi) bosqichi Bellman tenglamasining yechimini izlashdan va u bo'yicha (1) masalaning yechimini qurishdan iboratdir. (6) tenglamada deb olamiz:
(8)
Bu ifodaning o'ng tomonidan berilgan funksiya va (7) dan topilgan funksiya bor. SHuning uchun (8) formula ma'lum bir o'zgaruvchiligi funksiyani maksimallashtirish bilan funksiyani hisoblash imkonini beradi. So'ngra (6) da deb olib, har bir holda bir o'zgaruvchiligi funksiyani maksimallashtirish amalni bajarib, ketma-ket funksiyalarni olamiz.
(1) ga asosan son (1) boshlang'ich masala uchun maksimal foydadan iboratdir. Xomashyoning texnologik jarayonlar bo'yicha optimal taqsimotini topish uchun (5) ifodaga murojaat qilamiz. Unda deb olb, (5) ning aniqlanishi bo'yicha agar barcha c ta jarayon uchun xomashyo miqdori s ga teng bo'lsa, oxirgi jarayonga (bu holda n- jarayonga) ajratilgan xomashyoning optimal miqdorga teng bo'lgan sonni olamiz. SHunday qilib, boshlang'ich masala optimal rejasining komponentasi topiladi: .
Agar n- jarayon uchun miqdor ajratilsa, u holda qolgan n-1 ta jarayon uchun miqdordagi xomashyo qoladi. (5) da deb olamiz va ni topamiz. Ravshanki, (1) masalaning optimalning oxirgidan oldingi komponentasi ga tengdir. Yechish jarayonini davom ettirib, (1) boshlang'ich masala yechimining komponentlarini topamiz.
Natijani tahlil qilamiz. Usulning afzalliklari: 1) boshlang'ich n ta o'zgaruvchi bo'yicha maksimallashtirish masalasi (1) bitta o'zgaruvchi bo'yicha n-1 ta maksimallashitirish masalasi (6) ga keltirildi hamda natija-global optimal rejadan iborat bo'ldi; 2) yechish jarayonida masala elementlarining analtik xossalaridan foydalanilmaydi; berilgan funksiyalar jadval, grafik, algoritmik va h.k ko'rinishda berilishi edi; 3) larni hisoblash natijalari bo'yicha c va n ning qiymatlarini variasiyalab, (1) masalaning yechimini oson qurish mumkin; bu (1) masala yechimining ko'rsatilgan parametrlarning o'zgarishiga sezgirligini tahlil imkonini beradi.
Usulning asosiy kamchilg Bellman tomonidan «o'lchovning qarg'shi» deb atalgan bo'lib, u shunday iboratki, (6) Bellman tenglamasini yechishda funksiyalarni esda saqlashga to'g'ri keladi. Berilgan bitta xomashyoni taqsimlash masalasida ular bir o'zgaruvchili funksiyalardan iborat. Umumiy holda esa argumentlarning soni xomashyoning xillari soniga teng bo'ladi. EXM da ko'p o'zgaruvchili funksiyalar (n>2) jadvallarini tuzish operativ xotira imkoniyatining chegaralanganligidan prinsipial qiyinchiliklarga olib keladi, shuning uchun bu usulning muhokama qilinayotgan shu kamchiligi ko'p o'lchovli (s-vektor) masalalarni yechishda dinamik programmalashning yuqorida bayon qilingan klassik tarhini amalga oshirish imkonini bermaydi. «O'lchov qarg'ishi» ni bartaraf etishning turli usullari tavsiya qilingan.
(1) masalaga oid sonli misol qaraymiz, uning kattaliklari I –jadvalda berilgan. Bellman funksiyasini hisoblashni 2-jadvalda bajaramiz. Har bir katakda bellman funksiyasining qiymati bilan bir qatorda, qavs ichida
I-Jadval

x	0	1	2	3	4	5
	0	1	2	3	4	5
	0	1	2	3	4	5
	0	1	2	3	4	5

II-Jadval

y	1	2	3	4	5
	1	2	3	4	5
	1(0)	2(0)	3(0)	4(0.4)	7(5)
	2(1)	3(1)	4(1)	5(1)	7(0)

(6) tenglamaning o'ng tomoni maksimumga erishadigan qiymat ham ko'rsatilgan. V.2-jadvaldan ko'rinadiki, qaralayotgan masalada maksimal foyda bo'ladi. Resurslarni optimal taqsimlanishni topamiz. bo'lganligidan, uchinchi texnologik jarayonga resurs ajratamiz: SHunday qilib, 1, 2 jarayonlarga to'liq 5 hajmdagi resurs qoldi. V.2-jadvaldan ekanligini topamiz. Demak, maksimal foyda olish uchun hamma resursni ikkinchi texnologik jarayonga ajratish kerak shuning uchun, .