Ikkinchi tаrtibli xususiy hosilаli tenglаmаlаrni klаssifikаtsIYalаsh

IKKINChI TАRTIBLI XUSUSIY HOSILАLI TENGLАMАLАRNI KLАSSIFIKАTsIYaLАSh

Tenglamaning u yoki bu tabaqaga (tipga) tegishli boʼlishi uning eng yuqori tartibli hosilalari oldida turgan koeffitsientlari orqali aniqlanadi.

Аniq bir tipga tegishli boʼlgan tenglamalar erkli oʼzgaruvchilarni almashtirish yoʼli bilan soddaroq-kanonik koʼrinishga keltirilishi mumkin. Buning ahamiyati shundaki, bir tipga kiruvchi tenglamalarni oʼrganishda (echishda) ularning kanonik koʼrinishdagi vakili bilan shugʼullanish kifoya qiladi.
1-§. Ikki oʼzgaruvchili ikkinchi tartibli tenglamalarni klassifikatsiyalash va kanonik koʼrinishlarga keltirish.

Yuqori tartibli hosilalariga nisbatan chiziqli boʼlgan (1)

tenglamani qaraylik, bu yerda , va koeffitsientlar larning berilgan funktsiyalari boʼlib, ikkinchi tartibli hosilalarigacha uzluksiz. Shu bilan birga lar bir vaqtda nolga teng emas deb faraz qilamiz (aks xolda tenglama 2-tartibli boʼlmay qolar edi). koeffitsientlardan ixtiyoriy ikkitasi aynan nol boʼlsa (1) tenglama oʼz-oʼzidan kanonik koʼrinishga kelgan boʼladi.
Berilgan (1) tenglamada erkli oʼzgaruvchilarni quyidagi formulalar (2)
orqali almashtiramiz. Bunda va funktsiyalar birinchi va ikkinchi tartibli hosilalari bilan birga uzluksiz va yakobian
(3)
boʼlsin deb, faraz qilamiz. Shu (3) shart bajarilsa, (2) almashtirish teskari almashtirishga ega boʼladi, yaʼni .
(1) tenglamaga kirgan hosilalarni yangi oʼzgaruvchilar larga nisbatan hisoblaymiz:
(4)
Hisoblangan hosilalar qiymatlarini (4) dan (1) tenglamaga qoʼyib quyidagini topamiz:
(5)
bunda
(6)
bo’lib, funktsiya ikkinchi tartibli hosilalarga bogʼliq boʼlmaydi. Аgar F argumentlariga nisbatan chiziqli funktsiya boʼlsa (5) tenglamadagi ham chiziqli funktsiya boʼladi, yaʼni (1) tenglama chiziqli boʼlsa (2) almashtirishdan soʼng ham chiziqliligicha qolaveradi.
Bizning ixtiyorimizdagi , funktsiyalar ixtiyoriy funktsiyalar boʼlib, faqatgina (3) shartga boʼysunadilar xolos. Endi ularni shunday tanlaylikki, (5) tenglama eng sodda holga kelsin.
Shu maqsadda, ushbu


(7)
birinchi tartibli tenglamani qaraylik. Аgar funktsiya (7) tenglamaning yechimi boʼlsa va desak (6) dan koʼrinib turibdiki, boʼladi, xuddi shunday ham (7) tenglamaning boshqa yechimi boʼlsa, (bunday yechim ham borligini keyinroq koʼrsatamiz) va desak (6) dan boʼlishi koʼrinadi.
Demak, hamma gap (7) tenglamada ekan. Bu tenglama haqida quyidagi ikki tasdiqni isbotsiz keltiramiz.


1. Agar funksiya (7) tenglamaning xususiy yechimi boʼlsa, u holda
(8)
oddiy differentsial tenglamaning umumiy yechimi boʼladi.
2. Agar (8) tenglamaning umumiy yechimi boʼlsa, u holda funktsiya (7) tenglamani qanoatlantiradi.
Demak, (8) oddiy differentsial tenglamaning yechimlarini topsak, (7) tenglamaning ham yechimlarini topgan boʼlar ekanmiz.
Yuqoridagi (8) tenglama (1) tenglamaning xarakteristik tenglamasi, uning yechimlari esa (1) tenglamaning xarakteristikalari deyiladi.
(8) tenglamani quyidagicha yozish mumkin:

Bu tenglikdagi
(9)
(10)
ekanligi kelib chikadi.
Berilgan (1) tenglamada, umumiyatlikka zarar yetkazmasdan, har doim A>0 deb olishimiz mumkin.
Xaqiqatdan ham, buning uchun: agar bo’lsa (1) tenglamaning ikkala tomonini (-1) ga koʼpaytirsak kifoya. Аgar va boʼlsa, u holda x va y larining oʼrinlarini almashtirish yetarli, agar (lekin ) bo’lsa, у holda tenglamada

almashtirish bajarilsa olingan tenglamada yana koeffitsient paydo boʼladi.
Qaralayotgan (1) tenglamaning tiplarga boʼlinishi (9) (10) tenglamalardagi ifoda (diskriminant) ning ishorasiga bogʼliq. deb belgilaylik.
Berilgan sohaning biror nuqtasida (1) tenglamaning tipi:
g i p ye r b o l i k deyiladi, agar nuqtada bo'lsa,
e l l i p t i k deyiladi, agar nuqtada bo’lsa,
p a r a b o l i k deyiladi, agar nuqtada bo’lsa.
Аgar sohaning barcha nuqtalarida bo’lsa, (1) tenglama butun sohada giperbolik, boʼlsa, butun sohada elliptik, boʼlsa, butun sohada parabolik deyiladi. Tenglamalarning bunday nomlanishlari ikkinchi tartibli egri chiziqlarning umumiy tenglamasi
(11)
ni oʼrganishdan kelib chiqqan boʼlib, uning sababi (11) tenglama boʼlsa giperbolani, boʼlsa ellipsni, boʼlsa parabolani ifoda etadi.
Аgar (5) tenglama uchun ni (6) formulalardan foydalanib hisoblasak,
(12)
tenglikni olamiz, bu yerda yani (3) yakobian.
Demak, bo’lib ning ishorasi ning ishorasi bilan bir xil boʼlar ekan, bu degani (2 ) almashtirishdan soʼng (1) tenglamaning tipi oʼzgarmaydi.