Ikkinchi tаrtibli xususiy hosilаli tenglаmаlаrni klаssifikаtsIYalаsh

2-§. Гиперболик типдаги тенглама ва унинг каноник кўриниши

1-§ da aytganimizdek

tenglama uchun biror M nuqtada

boʼlsa, u giperbolik tipdagi tenglama boʼladi.
Bu holda


tenglamalarning integrallari

lar haqiqiy va turlicha boʼladi. Binobarin, (8) tenglama ikkita turli haqiqiy xarakteristikalarga ega.
Endi yangi oʼzgaruvchi va lar sifatida va funktsiyalar olinsa:

ular (7) tenglamani qanoatlantirib, (6) munosabatlarga koʼra boʼladi.
Natijada (5) tenglama quyidagi

koʼrinishga keladi. Keyingi tenglikdan quyidagini topamiz:
(13)
bunda

bo’ladi.
(13) tenglama giperbolik tipdagi tenglamaning kanonik koʼrinishini ifodalaydi.
Agar va oʼzgaruvchilarni

deb olsak, giperbolik tenglama ushbu

koʼrinishga keladi. Bu giperbolik tipdagi tenglamaning ikkinchi kanonik koʼrinishidir.
Shunday qilib, giperbolik tipdagi tenglama quyidagi
ёки
kanonik koʼrinishlarga ega boʼladi.
Misol. Ushbu
(14)
tenglamani qaraylik.
Bu tenglama uchun bo’lib,

boʼladi. Demak, qaralayotgan tenglama giperbolik tipdagi tenglama
ekan.
(14) tenglamaning xarakteristik tenglamasi

boʼladi. Bu ikkita

tenglamalarga ajraladi. Ularni yechib, topamiz:

Endi yangi oʼzgaruvchi va lar sifatida

deb , larni (4) formulalardan foydalanib hisoblaymiz:


Bu qiymatlarni (14) tenglamadagi , larning oʼrniga qoʼyib topamiz:

Bu berilgan tenglamaning kanonik koʼrinishidir.
3-§. Parabolik tipdagi tenglama va uning kanonik koʼrinishi.

Аytaylik, ushbu

tenglama uchun biror nuqtda

boʼlsin. Unda qaralayotgan tenglama parabolik tipdagi tenglama boʼlib, u bitta karrali haqiqiy xarakteristika

ga ega boʼladi.
Yangi oʼzgaruvchi va lar sifatida

larni olamiz, bunda funksiya ga bogʼliq boʼlmagan ixtiyoriy funktsiya.
Bu xolda funksiya (7) tenglamani qanoatlantirib, (6) munosabatga koʼra

bo’ladi.
Ikkinchi tomondan, boʼlishini eʼtiborga olib

va
(15)
boʼlishini topamiz.
Ravshanki,


(15) tenglikka koʼra

boʼladi. Natijada (5) tenglama quyidagi

koʼrinishga keladi. Keyingi tenglikdan topamiz:
(16)
bunda

bo’ladi.
(16) tenglama parabolik tipdagi tenglamaning kanonik koʼrinishini ifodalaydi.
Misol. Ushbu
(17)
tenglamani qaraylik.
Bu tenglama uchun bo’lib,

boʼladi. Demak, qaralayotgan tenglama parabolik tipdagi tenglama.
(17) tenglamaning xarakteristik tenglamasi

boʼladi. Bu esa

yani

tenglamaga keladi. Uning yechimi

bo’ladi.
Endi yangi oʼzgaruvchi va lar sifatida

deb, ( funktsiyaning ixtiyoriyligidan foydalanib, uni deb oldik) larni (4) formulalardan foydalanib hisoblaymiz:



Bu qiymatlarni (17) tenglamadagi larning oʼrniga qoʼyib topamiz:

Bu berilgan tenglamaning kanonik koʼrinishini ifodalaydi.