Ikkinchi tаrtibli xususiy hosilаli tenglаmаlаrni klаssifikаtsIYalаsh

4-§. Elliptik tipdagi tenglama va uning kanonik koʼrinishi.

Faraz qilaylik, ushbu

tenglama uchun biror nuqtda

boʼlsin. Unda qaralayotgan tenglama elliptik tipdagi tenglama boʼlib, y u xaqiqiy xarakteristikalarga ega boʼlmaydi.
Аytaylik, va kompleks-qoʼshma funktsiyalar xarakteristik tenglamani qanoatlantirsin.
Yangi oʼzgaruvchi va larni quyidagicha

olaylik.
ni (7) tenglamaga qoʼyib topamiz:


Bu tenglikdan


boʼlishi kelib chiqadi.
(6) munosabatdan foydalanib,

boʼlishini topamiz.
Natijada (5) tenglama quyidagi

yani
(18)
koʼrinishga keladi.
(18) tenglama elliptik tipdagi tenglamaning kanonik koʼrinishini ifodalaydi.
Misol. Ushbu
(*)
tenglamani qaraylik.
Bu tenglama uchun bo’lib

Demak, karalayotgan tenglama elliptik tipdagi tenglama ekan.
(*) tenglamaning xarakteristik tenglamasi

koʼrinishida boʼlib, uning yechimi

bo’ladi.
Unda yangi oʼzgaruvchi va sifatida

deb olsak, hosilalar quyidagicha boʼladi



Bularni (*) tenglamaga qoʼysak, uning

kanonik koʼrinishini olamiz.
5-§. Oʼzgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli chiziqli
tenglamalarning kanonik koʼrinishlari
.

Ushbu

chiziqli tenglamani qaraylik. Bunda barcha katta-kichik koeffitsientlar oʼzgarmas sonlar boʼlsin. U holda qaralayotgan tenglamaning xarakteristikalari (9), (10) tenglamalarga binoan.


toʼgʼri chiziqlardan iborat boʼladi.
1-§ da koʼrsatganimizdek, ning ishorasiga qarab mos
almashtirishlardan soʼng qaralayotgan chiziqli tenglama quyidagi
koʼrinishlarga keladi
:
(elliptik tip),
(giperbolik tip),
(parabolik tip)
Yuqoridagi tenglamalarning har birida oʼrniga yangi funktsiyani quyidagicha

kiritsak, u holda va oʼzgarmaslarni tanlash hisobiga oʼzgarmas koeffitsientli tenglamalar uchun quyidagi sodda kanonik koʼrinisharga ega boʼlamiz:
(elliptik tip)
(giperbolik tip)
(parabolik tip)
Misol. Ushbu

tenglamani qaraylik.
Bu tenglama elliptik tipdagi tenglama, chunki

Tenglamaning xarakteristik tenglamasi

boʼlib, uning yechimi

bo’ladi. Agar

yoki

almashtirish bajarsak va tenglamadagi barcha hosilalarni hisoblasak:





boʼladi. Bu qiymatlarni berilgan tenglamaga qoʼysak:
(*)
kanonik shaklga ega boʼlamiz.
Bu tenglamada

almashtirish bajarib, va parametrlarni tanlash hisobiga yanada soddaroq shaklda yozish mumkin. Buning uchun quyidagi




hosilalarni shu misoldagi (*) tenglamaga qoʼysak

tenglikka ega boʼlamiz. Bu yerda

deb olsak, (*) tenglama quyidagi eng sodda koʼrinishga keladi: