Ikkinchi tаrtibli xususiy hosilаli tenglаmаlаrni klаssifikаtsIYalаsh

6-§. Koʼp oʼzgaruvchili ikkinchi tartibli tenglamalarni klassifikatsiyalash. Xarakteristik forma tushunchasi.

Ushbu
(19)

ikkinchi tartibli tenglamani qaraylik. Bunda koeffitsientlar fazodagi sohada berilgan funktsiyalar boʼlib, deb hisoblanadi. Koʼrinishi (19) kabi boʼlgan tenglamalar nazariyasida xarakteristik forma deb atalmish ushbu
(20)
kvadratik forma katta rolь oʼynaydi. Koʼrinib turibdiki, (20) xarakteristik forma qaralayotgan (19) tenglamaning ikkinchi tartibli hosilalari oldidagi koeffitsientlar lardan tuzilgan. Аna shu (20) formani kanonik koʼrinishga keltirilishiga qarab (19) tenglama tiplarga boʼlinadi.

Аlgebradan maʼlumki, (20) kvadratik forma sohaning har bir nuqtasida xosmas , almashtirish yordamida quyidagi kanonik koʼrinishga keltirilishi mumkin

(21)
bunda, koeffitsientlar faqat 1-1.0 qiymatlarga teng boʼladi. Yana shunisi muhimki, qabul qiladigan va qiymatlarning soni har qanday maxsus boʼlmagan almashtirilishlar uchun bir xil boʼladi. nuqtada qaralayotgan (20) forma uchun (21) formulada barcha yoki barcha boʼlsa u holda (19) tenglama shu nuqtada elliptik tenglama deyiladi. Аgar lardan biri manfiy boʼlib, barcha qolganlari musbat boʼlsa, (19) tenglama shu nuqtada giperbolik deyiladi. Аgar lardan tasi bir xil ishorali, qolgan tasi ularga teskari ishorali boʼlsa, (19) tenglama ulьtragiperbolik deyiladi. Аgar lardan hech boʼlmaganda bittasi nolga teng boʼlsa, (19) parabolik tipdagi tenglama deyiladi.
Аgar (19) tenglama sohaning har bir nuqtasida elliptik, parabolik yoki giperbolik boʼlsa, u holda (19) tenglama butun sohada mos ravishda elliptik, parabolik yoki giperbolik deyiladi.
Shunday qilib, berilgan nuqtada (19) tenglama quyidagi kanonik koʼrinishlarga keltirilishi mumkin ekan:
(elliptik tip),
(giperbolik tip),
(ультрагиперболик тип),
, (parabolik tip).
(19) tenglama faqat bir nuqtada, tipiga qarab, yuqoridagi kanonik koʼrinishlardan biriga keltirilishi mumkinligiga ishonch hosil qildik. Lekin savol tugʼiladi: (19) tenglamani biror sohada tipi maʼlum boʼlsa, shu sohada kanonik koʼrinishiga keltirib boʼladimi? Mulohaza qilib koʼrilsa, bu savolga boʼlganda yoʼq deb javob berishga toʼgʼri keladi. Haqiqatdan, 1) qaralayotgan - oʼlchovli holda (2) almashtirilishlarga mos keladigan funktsiyalar soni ta, 2) yuqoridagi kanonik koʼrinishlardan koʼrinib turibdiki, ularning birortasida aralash hosilali hadlar yoʼq, demak almashtirishdan keyingi tenglamaning koefitsientlarini desak u holda barcha larni nolga aylantirish kerak boʼladi. Ularning soni esa ga teng boʼlib, bo’lganda dan katta. Bu degani ixtiyorimizdagi ta funktsiyalar yetarli boʼlmaydi. boʼlganda esa matritsani diagonalida yotmagan elementlarni nolga aylantirish mumkin, lekin u holda diagonalda yotgan elementlar bir xil boʼlmay qoladi.
Bundan xulosa qilish mumkinki, boʼlganda (19) tenglamani biror sohada kanonik koʼrinishga keltirib boʼlmaydi. Аlbatta, oʼzgarmas koeffitsientli tenglamalar bundan mustasno, chunki bu holda tenglamani bir nuqtada kanonik koʼrinishga keltirsak butun sohada kanonik koʼrinishga keltirgan boʼlamiz.
Bobning xotima qismida shuni ham aytib oʼtish kerakki, tenglamalar qaralayotgan sohaning bir qismida bir tipga, ikkinchi qismida ikkinchi tipga tegishli boʼlishi mumkin. Bunday tenglamalar aralash tipdagi tenglamalar deyiladi.
Masalan Trikomi tenglamasini olaylik,

Bu tenglama sohada elliptik tipga, sohada esa giperbolik tipga tegishli, chunki Demak, Trikomi tenglamasi oʼqini oʼz ichiga olgan har qanday sohada aralash tipga tegishlidir.