Ikkinchi tartibli egri chiziqlar

Mavzuga doir yechimlari bilan berilgan topshiriqlardan namunalar

1. ^{2 2}= tenglama ellipsni ifodalashini ko’rsating va uning barcha xarakteristikalarini toping.

Yechish: Dastlab berilgan tenglamaning ikkala tomonini 4 ga bo’lamiz:

Bu yerdan berilgan tenglama yarim o’qlari a va bo’lgan ellipsni bildirishini ko’ramiz. Unda c² a²-b² -1=3 bo’lgani uchun qaralayotgan ellipsning fokuslari ₁ ) va ₂ ( ) nuqtalarda joylashganini aniqlaymiz. Topilganlardan foydalanib, ellipsning eksentrisiteti va direktrisasini topamiz:

Ellipsga tegishli nuqtaning fokal radiuslari

₁ va ₂ lardan iborat.

2. ^{2 2} ellips berilgan. Bu ellips o’qlarining uzunliklarini, uchlari va fokuslarining koordinatalarini hamda ekstentrisitetini toping.

Yechish: Berilgan tenglamani ikkala tomonini hadma-had 400 ga bo’lsak,

tenglama hosil bo’ladi. Bu tenglamadan ² , ² bo’lib, ulardan va kelib chiqadi. Demak, ellipsning katta o’qi , kichik o’qi esa ₁ (2-chizma).

Demak ellipsning uchlari A(5;0), A₁(-5;0), B(0;4), B₁(0;-4) nuqtalarda. Ellipsning fokuslari formuladan topiladi.

Demak, . Shunday qilib, ellipsning fokuslari F₁ (3 ) va F₂ (-3 ) nuqtalarda bo’ladi.

Ellipsning eksentrisiteti ga teng.

3. Fokuslari orasidagi masofa 6 ga va kichik o’qi 8 ga teng bo‘lgan ellipsning tenglamasi tuzilsin.

Yechish: Berilganlarga ko’ra, 2c 6, 2b=8 bo’lib, ulardan c va b ni aniqlaymiz. ni topish uchun dan foydalanamiz.

Demak,

va ning qiymatlarini ellipsning kanonik tenglamasiga qo’yilsa, izlangan tenglama hosil bo’ladi. U quyidagicha:

, .

4. Ellipsning tenglamasi dan iborat. Ellipsning absissasi 4 birlikka teng bo’lgan nuqtasining radius- vektorlari topilsin.

Yechish: Berilgan tenglamadan va bo’lib, ulardan va larni topamiz. c ni c formuladan topamiz. c .

Demak, va masalaning shartiga asosan x=4. Bularni r₁ a- va r₂ a+ larga qo’yamiz va

r₁ , r₂

larni hosil qilamiz.