Ikkinchi tartibli chiziqlarning umumiy tenglamasi. Parabola, ellips va giperbolaning kanonik va urinma tenglamalari. Optik xossalari

Ta’rif: Giperbola fokuslari orasidagi masofaning, giperbola haqiqiy

• Ta’rif: Giperbola fokuslari orasidagi masofaning, giperbola haqiqiy
• o’qi uzunligiga nisbati, giperbolaning eksentrisiteti deyiladi va u
• quyidagicha belgilanadi.
• Giperbolada c > a bo’lgani uchun, uning eksentrisiteti hamisha 1 dan
• katta, ya’ni bo’ladi. Bundan tashqari ekanligini inobatga
• olsak, giperbola eksentrisitetini quyidagicha ham hisoblash mumkin:
• Ta’rif: Giperbolaning istalgan M(x, y) nuqtasidan uning F1(-c; 0) va
• F2(c; 0) fokuslarigacha bo’lgan masofalari, shu M nuqtaning fokal
• radiuslari deyiladi.
• Agar fokal radiuslarni r1 va r2 kabi belgilasak, ular uchun quyidagi
• tengliklar o’rinli bo’ladi:
• Umuman olganda fokal radiuslarni quyidagicha ham hisoblash
• mumkin (o’ng shox uchun)
• (chap shox uchun)

ELLIPS, GIPERBOLA VA PARABOLALARNING URINMA TENGLAMALARI

• Bizga silliq funksiya berilgan bo’lsin. Matematik analiz kursi-
• dan ma’lumki, fuksiyaning x nuqtadagi hosilasining qiymati, funksiyaga
• shu nuqtada o’tkazilgan urinmaning Ox o’q bilan tashkil qilgan burchak
• tangensiga teng bo’lib, u urinma quyidagicha topilar edi:
• .
• Shunga ko’ra, biz ellipsning urinma tenglamasini keltirib chiqamiz.
• Bizga ko’rinishdagi ellips berilgan bo’lib, (x; y) ellipsning
• biror tayinlangan nuqtasi bo’lsin. Bu tenglamaning o’ng va chap tomon-
• laridan x(-a, a) bo’yicha hosila olib, ushbu tenglikga ega bo’lamiz:
• Bundan esa, ellipsning (x, y) nuqtadagi hosilasi ga teng bo’ladi,
• Endi bularni yuqoridagi urinma tenglamasiga qo’ysak ellipsning (x, y)
• nuqtadagi urinmasi quyidagicha bo’ladi:

• Endi bu tenlikni ikkala tomonini ga ko’paytirsak, ushbu tenglik hosil
• bo’ladi
• Bizga ma’lumki, (x, y) ellipsning nuqtasi bo’lgani uchun u
• tenglikni qanoatlantiradi. Bu oxirgi ikkita tengliklarni inobatga olib,
• ushbu tenglamani hosil qilamiz:
• .
• Bu tenglamaga ellipsning (x, y) nuqtadagi urinma tenglamasi deyiladi.
• Xuddi shunday giperbola va parabolalarning ixtiyoriy tayinlangan
• nuqtalaridan o’tuvchi urinma tenglamalari mos ravishda quyidagicha
• bo’ladi: