Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient

2.2. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient. Endi z=f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalari tushunchasining bir umumlashmasini kiritamiz. Buning uchun funksiya M(x,y) nuqtaning biror atrofida aniqlangan va bu nuqtadan o‘tuvchi l to‘g‘ri chiziq bo‘yicha yo‘nalish biror e={cosα, cosβ} birlik vektor orqali berilgan bo‘lsin. Bunda cosα, cosβ berilgan e birlik vektorning mos ravishda OX va OY koordinata o‘qlari bilan hosil etgan α va β (β=90⁰–α) burchaklar bilan aniqlanadi va yo‘naltiruvchi kosinuslar deb ataladi. Bu l to‘g‘ri chiziqda yotuvchi va M(x,y) nuqtaning atrofiga tegishli yana bir N(x+∆x,y+∆y) nuqtani
qaraymiz. Bunda z=f(x,y) funksiyaning o‘zgarishi
_l f  f (x  x,y  y)  f (x, y)
ayirma orqali ifodalanadi va u funksiyaning l yo‘nalish bo‘yicha orttirmasi deyiladi. Bu yerda MN=∆l belgilash kiritamiz. Bunda N→M desak, ya’ni ∆x→0,
∆y→0 bo‘lsa, unda ∆l→0 bo‘ladi.
2-TA’RIF: Agar ∆l→0 bo‘lganda ∆_lf /∆l nisbat chekli limitga ega bo‘lsa, bu limit qiymati z=f(x,y) funksiyaning l yo‘nalish bo‘yicha hosilasi deb ataladi. z=f(x,y) funksiyaning l yo‘nalish bo‘yicha hosilasi
fl, zl , f , z
l l
kabi belgilanadi va , ta’rifga asosan,

f  lim l ^f
l l0 l
kabi aniqlanadi. ∆l=∆xcosα+ ∆ycosβ tenglikdan foydalanib,
f f f

 cos cos (4)
l x y
formula o‘rinli ekanligini keltirib chiqarish mumkin.
Masalan, f(x,y)=x²–y² funksiyaning M(x,y) nuqtadagi α=60⁰ yo‘nalish bo‘yicha hosilasi

^f  ^f cos ^f 60⁰ 2ysin60⁰ _ x  y 3 cos 2xcos _
l x y

formula bilan hisoblanadi. Xususan, M(1,1) nuqtada bu hosilaning qiymati 1 3 bo‘ladi.
Agar l yo‘nalish biror a={a₁, a₂} vektor orqali berilgan bo‘lsa, unda bu yo‘nalish bo‘yicha hosila
f  f  a1  f  a2
l ^x a₁2  a₂2 ^y a₁2  a₂2
formula bilan hisoblanadi.
Masalan, yuqoridagi funksiyaning M(1,1) nuqtadagi a={4,3} vektor bilan aniqlanadigan l yo‘nalishi bo‘yicha hosilasining qiymatini topamiz:
f 4 3 8x  6y f (1,1) 8 6 2
 2x  2y     .
l 42 _ 32l 5 5
Agar l sifatida OX (yoki OY) koordinata o‘qining yo‘nalishini olsak , unda α=0, β=90⁰ (yoki α=90⁰, β=0) bo‘ladi va (4) formuladan
f f f f
 yoki 
l x l y
natijalarni olamiz. Demak, z=f(x,y) funksiyaning x yoki y bo‘yicha xususiy hosilalari uning l yo‘nalish bo‘yicha hosilasining xususiy holi bo‘ladi. 3-TA’RIF: z=f(x,y) funksiyaning gradienti deb koordinatalari f_x va f_y xususiy hosilalardan iborat vektorga aytiladi.
z=f(x,y) funksiyaning gradienti odatda gradf kabi belgilanadi. Gradient ma’nosini aniqlash uchun, vektorlarning skalyar ko‘paytmasidan (III bob, §2) foydalanib, l yo‘nalish bo‘yicha hosilaning (4) ifodasini quyidagicha yozib chiqamiz:
f  

 e gradf  e  gradf cos gradf cos .
l
Bu yerda φ orqali l yo‘nalishni ifodalovchi e birlik vektor bilan gradient vektor orasidagi burchak ifodalangan. Oxirgi tenglikdan ko‘rinadiki, φ=0 bo‘lganda yo‘nalish bo‘yicha hosila berilgan nuqtada o‘zining eng katta qiymatiga erishadi. Demak, berilgan nuqtada z=f(x,y) funksiyaning turli l yo‘nalishlar bo‘yicha hosilasi (o‘zgarish tezligi) bu yo‘nalish gradient bilan ustma-ust tushganda eng katta qiymatiga erishadi va bu qiymat gradient moduliga teng bo‘ladi. Gradient , majoziy qilib aytganda, tog‘ cho‘qqisida olib chiqadigan eng tikka yo‘nalishni ifodalaydi.

Masalan,yuqorida ko‘rilgan f(x,y)=x²–y² funksiyaning M(x,y) nuqtadagi gradienti gradf={2x, –2y} bo‘ladi. Xususan, M(1,1) nuqtada gradf={2, –2} va bu nuqtadagi funksiyaning eng katta o‘zgarish tezligi | gradf |=2 2 bo‘ladi.