Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient

2.3. Ikki o‘zgaruvchili funksiya differensiallari va ularning tatbiqlari. Oldin z=f(x,y) funksiyaning aniqlanish sohasidagi biror M(x,y) nuqtadagi to‘la orttirmasini eslaymiz (§1, (3) ga qarang): z=f = f (x +x , y + y )– f (x , y) .
4-TA’RIF: Agar z=f(x,y) funksiyaning berilgan M(x,y) nuqtadagi to‘la orttirmasi
f=Ax+By+αx +βy (5)
ko‘rinishda ifodalanib, unda A=A(x,y) va B=B(x,y) argumentlarning x va y orttirmalariga bog‘liq bo‘lmagan sonlar, α va β esa x→0, y→0 holda cheksiz kichik miqdorlar bo‘lsa, unda bu funksiya M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi deb ataladi. To‘la orttirmaning x va y orttirmalariga nisbatan bosh, chiziqli qismi Ax+By funksiyaning differensiali deyiladi.
z=f(x,y) funksiyaning differensiali df yoki df(x,y) kabi belgilanadi va, ta’rifga asosan, (5) tenglikdan
df=Ax+By (6) formula orqali topiladi.
Misol sifatida f(x,y)=x²+xy+3y funksiyaning differensiallanuvchi ekanligini ta’rif bo‘yicha tekshiramiz. Buning uchun dastlab funksiyaning to‘la orttirmasini topamiz:
f = [( x +x)²+ (x +x)( y + y)+3(y + y)] –[ x²+xy+3y]=
=2xx+(x)²+ xy+ yx+ xy+3y= (2x+y)x+(x+3)y+xx+xy.
Bu tenglikni (5) bilan taqqoslab, A=2x+y, B=x+3, α=x , β=x ekanligini ko‘ramiz. Bunda 4-ta’rifdagi barcha shartlar bajarilmoqda va shu sababli bu funksiya tekislikdagi ixtiyoriy M(x,y) nuqtada differensiallanuvchi va uning differensiali , (6) tenglikka asosan, quyidagi ko‘rinishda bo‘ladi: df=(2x+y)x+(x+3)y.
Ammo funksiyani differensiallanuvchi ekanligini har doim ham uning ta’rifi asosida tekshirish oson bo‘lmaydi. Shu sababli bu savolga umumiy holda javob topish masalasi paydo bo‘ladi. Bu masala quyidagi teoremada o‘z yechimini topadi. 2-TEOREMA: Agar z=f(x,y) funksiyaning f_x , f_y xususiy hosilalari M(x,y) nuqta va uning biror atrofida aniqlangan hamda uzluksiz bo‘lsa, unda funksiya bu nuqtada differensiallanuvchi va uning differensiali
df  f_xx  f_yy  ^f x  ^f y (7)
x y
formula bilan aniqlanadi.
Isbot: z=f(x,y) funksiyaning M(x,y) nuqtadagi to‘la orttirmasini quyidagi ko‘rinishda yozamiz:
f =f(x+x, y+y)–f(x, y)=[f(x+x, y+y)–f(x, y+y)]+[f(x, y+y)–f(x, y)] .(8)
Bu yerda kvadrat qavs ichidagi ayirmalar bir o‘zgaruvchili funksiyaning orttirmalarini ifodalaydi. I qavsdagi bir o‘zgaruvchili funksiya f(x,y+y) ko‘rinishda bo‘lib, uning argumenti [x, x+x] kesmada o‘zgaradi. Teorema shartiga ko‘ra f(x,y+y) funksiya bu kesmada f_x hosilaga ega. Unda I qavsdagi orttirmaga Lagranj teoremasini (VIII bob, §3) qo‘llash mumkin:

f (x  x, y  y)  f (x, y  y)  ^{f (x, y  y)} x , x  x  x  x . (9) x Xuddi shunday tarzda