Ikki o‘zgaruvchili funksiyaning xususiy hosilalari. Yo‘nalish bo‘yicha hosila va gradient

f_y(x,y) (3x²siny 5xy  y²)_y  (3x²siny)_y  (5xy)_y  (y²)_y 
3x²(siny)_y 5x(y)_y (y²)_y 3x²cosy 5x  2y Yana bir misol sifatida
f (x, y)  arctgxy²
funksiyaning xususiy hosilalarini hisoblaymiz:
f  ₂ 1  ₂ y²
 (arctgxy )  _{2 2} (xy )  _{2 4} ,
x x 1 (xy ) x 1 x y
f  ₂ 1  ₂ 2xy
 (arctgxy )  _{2 2} (xy )  _{2 4} .
y y 1 (xy ) y 1 x y
Bir o‘zgaruvchili funksiya hosilasining gеomеtrik mazmuniga o‘xshash ikki o‘zgaruvchili z=f(x,y) funksiyaning xususiy hosilalarining ham gеomеtrik mazmuni mavjud. Yuqorida aytilgandek, bu funksiya grafigi biror S sirtni ifodalaydi. Bu sirtga tegishli M₀(x₀, y₀) nuqtani qaraymiz. Bu holda f(x,y₀)=φ(x) bir o‘zgaruvchili funksiya bu S sirtni y=y₀ tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan biror L chiziqni ifodalaydi. Shu sababli x bo‘yicha xususiy hosilaning f_x(x₀,y₀) son qiymati L chiziqqa M₀(x₀, y₀) nuqta o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini ifodalaydi.
Demak, f_x(x₀,y₀)  tg bo‘lib, bunda α burchak S sirtni y=y₀ tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan L chiziqqa M₀(x₀, y₀) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning OX koordinata o‘qi bilan hosil etgan burchakni ifodalaydi. Xuddi shunday, f_y(x₀, y₀) soni S sirtni x=x₀ tekislik bilan kesishda hosil bo‘ladigan G chiziqqa M₀(x₀, y₀) nuqtada o‘tkazilgan urinmaning burchak koeffitsiyentini ifodalaydi. Bir o‘zgaruvchili funksiya M₀(x₀) nuqtada hosilaga ega bo‘lsa, unda bu nuqtada uzluksiz bo‘lar edi. Ammo ikki o‘zgaruvchili funksiyaning M₀(x₀, y₀) nuqtada f_x , f_y xususiy hosilalari mavjudligidan uni bu nuqtada uzluksizligi har doim ham kelib chiqmaydi.
Masalan,
^ xy , x2  y2  0,
f (x, y)  _x2  y2
^ 0 , x²  y²  0
funksiya O(0,0) nuqtada uzlukli (§1, (7) ga qarang) ekanligini ko‘rgan edik. Ammo f(x,0)≡0 va f(0,y)≡0 bo‘lgani uchun bu funksiyaning O(0,0) nuqtada ikkala xususiy hosilalari mavjud va f_x(0,0) 0 , f_y(0,0)  0 bo‘ladi.
Berilgan z=f(x,y) funksiyaning
z f z f
 , 
x x y y
xususiy hosilalari mavjud bo‘lsin. Bu holda ular х vа у o‘zgaruvchilarning funksiyalari bo‘ladi va shuning uchun ulardan yana xususiy hosilalar olish mumkin. Agar bu xususiy hosilalar mavjud bo‘lsa, unda
 ^f ² f  f ² f

x ⁽x)  x₂  f_xx , _y (_y)  _y2  f_yy z=f(x,y) funksiyaning х vа у argumentlari bo‘yicha II tartibli xususiy hosilalari,  (f )  2 f  fxy ,  (f )  2 f  fyx
y x xy x y yx
esa z=f(x,y) funksiyaning II tartibli aralash hosilalari deyiladi. Shunday qilib jami 4 ta II tartibli hosilalarga ega bo‘lamiz.
Masalan, z  3x²y  5x  3y  4 funksiyaning I tartibli xususiy hosilalari f_x  (3x²y  5x 3y  4)_x  6xy  5, f_y  (3x²y  5x  3y  4)_y 3x²  3, bo‘lgani uchun uning II tartibli hosilalari quyidagicha bo‘ladi:
f _xx  ( f _x)_x  (6xy  5)_x  6y, f _yy  ( f _y)_y  (3x²  3)_y  0,
f _xy  ( f _x)_y  (6xy  5)_y  6x, f _yx  ( f _y)_x  (3x²  3)_x  6x.
Yana bir misol sifatida yuqorida ko‘rib o‘tilgan f (x, y)  arctg(xy²) funksiyaning II tartibli hosilalarini topamiz:
² f  y² 2xy⁶ ² f  2xy 2x  6x³y⁴
 ( )   ,  ( )  ,
x2 x 1 x2y4 (1 x2y4)2 y2 y 1 x2y4 (1 x2y4)2
² f  y² 2y  2x²y⁵ ² f  2xy 2y  2x²y⁵

xy  y ( 2y4 )  (1 x2y4)2 , yx  x(1 x2y4 )  (1 x2y4)2 . 1 x
Bu misollarda II tartibli aralash hosilalar o‘zaro teng, ya’ni f_xy  f_yx ekanligini ko‘ramiz. Ammo bu tenglik barcha funksiyalar uchun o‘rinli bo‘lishi shart emas. Masalan, ushbu funksiyani qaraymiz:

^x²2  yy2² 2 y2  0, xy , x 
f (x, y)  _x _
^ 0, x²  y²  0
Bu funksiyani x bo‘yicha xususiy hosilasini hisoblab, quyidagi natijani olamiz:
 y(x4 2y4 y24)x22y2) , x2  y2  0,
fx(x, y)   (x 
 0, x2  y2  0

Bu yerda x=0 deb,
f_x(0, y)  y  f_xy (0, y)  1 f_xy (0,0)  1
natijaga kelamiz. Xuddi shunday tarzda f_yx (0,0) 1ekanligini ko‘rish mumkin. Demak, bu funksiya uchun O(0,0) nuqtada II tartibli aralash hosilalar o‘zaro teng emas.
Ammo ma’lum bir shartlarni qanoatlantiradigan funksiyalar uchun yuqoridagi misollarda ko‘rilgan aralash hosilalar tengligi o‘rinli bo‘ladi.
1-TEOREMA: Agar z=f(x,y) funksiya va uning f_x, f_y, f_xy , f_yx hosilalari М(х,у) nuqta va uning biror atrofida aniqlangan, bu nuqtada II tartibli f_xy , ^f_yx aralash hosilalar uzluksiz bo‘lsa, unda aralash hosilalar bu nuqtada
o‘zaro teng, ya’ni f_xy  f_yx bo‘ladi.
Bu teorema aralash hosilalar haqidagi teorema deb ataladi va uni isbotsiz qabul qilamiz.
O‘z navbatida z=f(x,y) funksiyaning II tartibli hosilalaridan yana xususiy hosilalar olib (ular mavjud bo‘lgan taqdirda), quyidagi 8 ta III tartibli hosilalarga ega bo‘lamiz:
3 f 3 f 3 f 3 f 3 f 3 f 3 f 3 f

 ³ , x²y , xyx , yx² , xy² , yxy, y²x, y³ . x 
Bu jarayonni davom ettirib, ikki o‘zgaruvchili funksiyalar uchun 2ⁿ ta n- tartibli hosilalarni n–1-tartibli hosilalar orqali birin-ketin aniqlab borish mumkin.
Ikki o‘zgaruvchili funksiya xususiy hosilalarining iqtisodiy tatbig‘iga doir bir misol qaraymiz. Yo‘lovchilar soni z bilan aholi soni x va shaharlar orasidagi masofa y o‘zaro z=x²/y ikki o‘zgaruvchili funksiya ko‘rinishida bog‘langan. Bu holda z_x  2x/ y xususiy hosila shaharlar orasidagi masofa y bir xil bo‘lganda yo‘lovchilar sonini oshishi x aholi soniga k=2 koeffitsiyent bilan to‘g‘ri proporsional bog‘langanligini ifodalaydi. z_y  x² / y² xususiy hosiladan esa aholi soni x o‘zgarmaganda yo‘lovchilar sonini oshishi shaharlar orasidagi y masofaning kvadratiga teskari proporsional bo‘lishi kelib chiqadi .