Iii bob. Абловиц-ладик тенгламасини чекли зичликликка эга функциялар синфида интеграллаш 1-§. Абловиц-Ладик тенгламалар системаси. Йост ечимлари

3.2-§. Сочилиш коэффициентлари ва уларнинг хоссалари

Бу параграфда сочилиш коэффициентининг хоссаларини ўрганамиз. (3.1.25), (3.1.26), (3.1.32) ва (3.1.39), (3.1.40) тенгликлардан фойдаланиб да
(3.2.1)
(3.2.2)
тенгликлани ёзамиз. Бунда
(3.2.3)
(3.2.4)
Охирги тенгликлар ёрдамида да
(3.2.5)
(3.2.6)
бўлишини ҳисоблаймиз. (3.2.1) ва (3.2.2) ҳамда (3.1.45) тенгликлар ёрдамида
(3.2.7)
симметрия муносабатини оламиз. Бу ерда ва функциялар ва бўйича тоқ ва функциялар ва бўйича жуфт функциялар. (3.1.35), (3.1.38) ва (3.1.55), (3.1.56) тенгликлар-
дан фойдаланиб,
(3.2.8)
(3.2.9)
тенгликларни ҳосил қиламиз. Бунда
(3.1.34), (3.2.5), (3.2.6), (3.2.8), (3.2.9) формулалардан
(3.2.10)
(3.2.11)
бўлиши келиб чиқади.
(3.2.1)-(3.2.4) тенгликлардан
(3.2.12)
(3.2.13)
(3.2.14)
(3.2.15)
тенгликларнинг ўринли бўлиши келиб чиқади. Худди шундай
(3.2.16)
(3.2.17)
(3.2.18)
(3.2.19)
да Йост ечимларининг аналитиклигидан ва функцияларининг да, ва функцияларининг да аналитиклиги келиб чиқади.
(3.2.16)-( 3.2.19) тенгликлардан
(3.2.20)
(3.2.21)
ва функциялар да, ва функциялар эса да бир хил нолларга эга. миқдорларни га купайтирганда нуқталардан ташқарида z бўйича чекли лимитларга эга бўламиз.
(3.1.32) ва (3.2.1)-(3.2.4) тенгликлардан
(3.2.22)
(3.2.22)
(3.2.23)
(3.2.24)
(3.2.25)
(3.2.26)
(3.2.27)
(3.2.28)
тенгликлар келиб чиқади. да ва , да ва . функция ва функция да интилади деб ҳисоблаймиз. Шунинг учун
(3.2.29)
Энди қуйидаги
(3.2.30)
(3.2.31)
функциялар орқали ва ўнг ва қуйидаги
(3.2.32)
(3.2.33)
функциялар орқали чап қайтиш коэффициентлари деб аталувчи функцияларни белгилаймиз. Бунда ва .
матрица элементлари ёрдамида ва коэффициентлар шундай киритиладики, бўлади.
ва функцияларга ўнг ўтиш коэффициентлари, ва функцияларга чап ўтиш коэффициентлари дейилади.
Қайтиш коэффициентлари ва бўйича тоқ функциялар ва ўтиш коэффициентлари ва бўйича жуфт функциялар. Демак,
(3.2.34)
(1) тенгламанинг хос қийматлари ( ) нинг тенгламанинг нолдан фарқли ечимларида қатор яқинлашувчи бўладиган қийматларида иборат. хос қийматларда бўлиб ва ечимлар чизиқли эркли бўлади. хос қийматларда бўлиб, ва ечимлар чизиқли эркли бўлади. хос векторлар да экспоненциал камаяди. Нол ва чексизлик хос қиймат бўлмайди. Бунда ва нолга айланмайди. Хос қийматлар да жуфтликни ташкил қилади. Ҳар бир хос қийматнинг алгебраик карралиги даги нинг ноллари карралиги билан мос келади, да эса нинг ноллари каррралиги билан мос келади.
хос қиймат учун га пропорционаллик коэффициенти ни киритамиз. нинг даги қиймати ёрдамида нормолловчи константани
(3.2.35)
тенглик орқали киритамиз. ноллар учун га пропорционаллик коэффициентларини ни тенглик орқали ва нинг даги қийматлари ёрдамида нормолловчи ўзгармасни
(3.2.36)
тенглик орқали киритамиз.
Худди шундай нормолловчи коэффициентларни
, (3.2.37)
(3.2.38)
тенглик орқали киритамиз. Бунда ва лар ва нинг ва даги қийматлари.
Нормалловчи ўзгармасларнинг симметриясини ўрганиш мақсадида хос қийматларни

каби тартиблаймиз. Ўтказиш коэффициентлари жуфт функция бўлгани учун

(107) тенгликларда алмаштириш бажарсак,

ва (108)-(110) тенгликлардан
(3.2.39)
тенгликларни ҳосил қиламиз. Айланада симметрия хоссаси асосан ва хос қийматлар учун бўлади. (3.2.10)-( 3.2.11) тенгликлар ёрдамида
(3.2.40)
ҳосил қиламиз. (3.1.48) ва (3.1.49) тенгликлар ёрдамида

ҳосил қиламиз. Бундан

(3.2.41)
келиб чиқади.
( ) тенгламанинг ноллари яъни , тенгликни қаноатлантирадиган лар спектрал сингулярлик дейилади. Спектрал махсусликларга эга эмаслик шарти қайтиш ва аксланиш коэффициентлари да узлуксизлигини билдиради.