|
Исбот. Потенциал (3.1.2) шартни қаноатлантирганда
муносабат ўринли. (3.1.1) тенгламада учун учун қўллаб
муносабатга эга бўламиз. да лимитга ўтиб (3.1.23) тенгликни ҳосил қиламиз. Худди шундай
тенгликда да лимитга ўтиб (3.1.24) тенгликни ҳосил қиламиз.
(3.1.1) биринчи тартибли чекли айирмали тенглама бўлганлиги учун да
,
муносабатлар ўринли бўлишини кузатиш мумкин.
, (3.1.25)
(3.1.26)
Белгилашларни киритсак,
(3.1.27)
(3.1.28)
бўлиши келиб чиқади. Бундан барча учун
(3.1.29)
бўлиши келиб чиқади.
матрицанинг иккита
(3.1.30)
Хос қийматлари мавжуд бўлиб, бўлса T бирлик доирага тегишли бўлади. Қуйидаги конформ акслантиришларни қараймиз:
, (3.1.31)
(3.1.32)
(3.1.31) акслантириш ни га ўтказади. Конформал акслантиришлар ёрдамида спектр қуйидаги шаклда ифодаланади. Тескари акслантириш
каби ифодаланади. аксланириш тоқ булиб, ва яримчизиқларни ўзини ўзига акслантиради. ва мавҳум ярим чизиқларни бирлик доиранинг юқори ва қуйи қисмларига акслантиради. Комплекс текислик қирқимга ажралади.
акслантириш ҳам тоқ булиб, ва ярим чизиқларни ўзига акслантиради.
Биз комплекс текисликда функцияни қуйидагича белгилаймиз.
(3.1.31)
Комплекс текисликнинг қатламларида , муносабатлар ўринли бўлади. Бирлик доирада , муносабатлар ўринли.
матрицани қуйидаги
(3.1.32)
тенглик орқали аниқлаймиз. Бунда ва (3.1.31) тенглик орқали ифодаланади. Қулайлик учун
каби белгилаш мумкин. Бунда
матрицанинг детирминанти
ифодаланади. тенглик қийматларда бажарилади. Натижада биз қуйидаги
(3.1.33)
(3.1.34)
симмитрияларга эга бўламиз. Бундан
(3.1.35)
(3.1.36)
(3.1.37)
(3.1.38)
тенгликлар келиб чиқади. Бунда ва , ва Паули матрицалари.
да нинг иккита қиймати фарқланади. Бу қийматларда Йост матрицасининг ва устунларини ушбу
(3.1.39)
(3.1.40)
Йост функциялари каби қабул қиламиз. Йост ечимлари да аниқланган бўлиб, нинг чегараси да аналитик бўлади.
Йост ечимлари қуйидаги
(3.1.41)
(3.1.42)
асимптотикаларни қаноатлантиради.
Энди Йост ечимларининг хоссаларини келтирамиз. Агар (3.1.1) тенгламанинг ечими бўлса,
(3.1.43)
тенглик ўринли бўлади. Бундан
(3.1.44)
келиб чиқади. Симметриянинг бу хоссасидан фойдаланиб фундаментал хос функцияларнинг симмитрия хоссаларини келтириб чиқарамиз.
(3.1.45)
(3.1.25) ва (3.1.26) тенгликлар ва (3.1.45) муносабатлардан
(3.1.46)
тенгликлар келиб чиқади.
Бу тенгликлар ва (3.1.35) муносабатлардан
(3.1.47)
(3.1.48)
симметрия муносабатлари келиб чиқади. да
(3.1.49)
(3.1.50)
муносабатлар ўринли бўлади. функция учун муносабат ўринли бўлишидан
(3.1.51)
бўлиши келиб чиқади. Ушбу
муносабатнинг мусбатлигидан да 1 га интилишидан фойдаланиб
(3.1.52)
муносабатни ёзамиз. Худди шунга ўхшаш
(3.1.53)
муносабатларни ёзиш мумкин. Мусбат
кўпайтувчи ёрдамида
(3.1.54)
тенгликка эга бўламиз. (3.1.25), (3.1.26) ва (3.1.52), (3.1.54) тенгликларга асосан z ∈ Σ да
(3.1.55)
(3.1.56)
тенгликларни ҳосил қиламиз. (3.1.35-38) ва (3.1.39)-(3.1.40) формулалардан (3.1.52), (3.1.54) тенгликларга асосан
(3.1.57)
(3.1.58)
тенгликларни ҳосил қиламиз. (3.1.23), (3.1.24) тенгликлардан фойдаланиб, (3.1.33)-(3.1.34) тенгликлардан
(3.1.59)
(3.1.60)
келиб чиқади.
синфдаги , шартни бажарувчи функцияларда қуйидаги тасдиқлар ўринли.
ларда функция аналитик, дан ташқари да узлуксиз.
ларда функция аналитик ва дан ташқари да узлуксиз.
ларда функция аналитик ва дан ташқари да узлуксиз.
ларда функция аналитик, дан ташқари да узлуксиз.
Хақиқатдан ҳам, (3.1.7)-(3.1.8) ва (3.1.39)-(3.1.40) тенгликлардан
(3.1.61)
(3.1.62)
ёзиш мумкин. Бунда
Бунда ларнинг қиймати нинг Йост ечимларига маос келадиган қийматлари. (3.1.61) ва (3.1.62) тенгликларни
ифодалаш мумкин. Бу ерда кузатиш мумкинки, ва лар нинг жуфт функциялар. да нинг қиймати тенг. Худди шу фикр да (3.1.62) тенглик учун ҳам ўринли. Ҳақиқатан ҳам,
коэффициент да тенг бўлишидан да аналитиклиги келиб чиқади.
Қуйидаги асимптотикалар ўринли.
(3.1.63)
(3.1.64)
Бу тенгликларни қуйидагича ёзамиз.
(3.1.65)
(3.1.66)
Бунда ўзгармас аниқланмаган. Натижада биз қуйидаги юқори учбурчак формуласига эга бўламиз.
(3.1.67)
(3.1.68)
(3.1.69)
(3.1.70)
(3.1.71)
Do'stlaringiz bilan baham: |
