Ii. Binomial taqsimot

Ta’rif. uzluksiz tasodifiy miqdor normal qonun bo’yicha taqsimlangan deyiladi, agar uning zichlik funktsiyasi quyidagi ko’rinishga ega bo’lsa

va parametrlar bo’yicha normal taqsimot orqali belgilanadi. normal tasodifiy miqdorning taqsimot funktsiyasi

Agar normal taqsimot parametrlari va bo’lsa, u standart normal taqsimot deyiladi. Standart normal taqsimotning zichlik funktsiyasi quyidagi ko’rinishga ega:

Taqsimot funktsiyasi

ko’rinishga ega va u Laplas funktsiyasi deyiladi.

Quyidagi rasmda va larning turli qiymatlarida normal taqsimot grafigining o’zgarishi tasvirlangan:

tasodifiy miqdorning intervalga tushish ehtimolini hisoblaymiz. Avvalgi mavzulardan ma’lumki,


Laplas funktsiyasidan foydalanib, quyidagiga ega bo’lamiz:

Normal taqsimot funktsiyasini Laplas funktsiyasi orqali quyidagicha ifodalasa bo’ladi:


Agar Laplas funktsiyasi bo’lsa, u holda va oxirgi formulani quyidagicha yozsa bo’ladi:

Amaliyotda ko’p hollarda normal tasodifiy miqdorning ga nisbatan simmetrik bo’lgan intervalga tushish ehtimolini hisoblashga to’g’ri keladi.
Uzunligi bo’lgan intervalni olaylik, u holda


Demak,

deb olsak, bo’ladi. funktsiyaning qiymatlari jadvalidan ni topamiz. U holda bo’ladi. Bundan quyidagi muhim natijaga ega bo’lamiz: Agar bo’lsa, u holda uning matematik kutilmasidan chetlanishining absolyut qiymati o’rtacha kvadratik tarqoqligining uchlanganidan katta bo’lmaydi. Bu qoida “uch sigma qoidasi” deyiladi.

III. XULOSA

Shunday qilib, hisoblashning bitta umumiy qoidasi mavjud: mumkin bo'lgan tomchilarning umumiy sonini va ma'lumotlarning paydo bo'lish usullarini hisobga olish kerak, so'ngra oxirgi raqamning qolgan mumkin bo'lgan tomchilar soniga nisbati topiladi.

Ehtimol ehtimollik nazariyasining matematik apparati takomillashishda davom etdi. O'sha paytda uni qo'llashning asosiy sohasi tasodifiy xatolarni o'z ichiga olgan kuzatuvlar natijalarini matematik qayta ishlash, shuningdek sug'urta biznesidagi xavflarni hisoblash va boshqa statistik ko'rsatkichlar edi. Ehtimollik nazariyasi va 19-asrning matematik statistikasining asosiy amaliy muammolaridan quyidagilar:
Xuddi shu (ma'lum) taqsimot qonuniga ega bo'lgan mustaqil tasodifiy o'zgaruvchilar yig'indisi berilgan chegaralar ichida bo'lishi ehtimolini toping. Ushbu muammo o'lchov xatolar nazariyasi uchun, birinchi navbatda, kuzatishlar xatolarini baholash uchun alohida ahamiyatga ega edi;
tasodifiy qiymatlar yoki bunday qiymatlar seriyasidagi farqlarning statistik ahamiyatini aniqlash. Misollar: yangi dori haqiqatan ham yaxshiroq yoki yo'qligini aniqlash uchun yangi va eski dorilarni qo'llash natijalarini taqqoslash;
berilgan omilning tasodifiy o'zgaruvchiga ta'sirini o'rganish (omil tahlili).
19-asrning o'rtalariga kelib, artilleriya o'qlarining ehtimoliy nazariyasi shakllanmoqda. Evropaning aksariyat mamlakatlarida milliy statistika tashkilotlari tashkil etilgan. Asr oxirida ehtimoliy usullarni qo'llash sohasi fizika, biologiya, iqtisod va sotsiologiyaga muvaffaqiyatli kengaya boshladi.
Birinchi fizik ehtimollik modellari 19-asrning ikkinchi yarmida L. Boltszman, D.K. Maksvell va D.W.Gibbs tomonidan ishlab chiqilgan statistik fizikada vujudga keldi. Boltszman bir qator asarlaridagi (1870-yillar) termodinamik qonuniyatlar tabiatda ehtimoliy-statistik xususiyatga ega ekanligini va fizik tizimlarning ehtimolligi past bo'lgan holatdan ehtimolligi yuqori bo'lgan holatga o'tishi bilan bog'liqligini va entropiya ehtimollik o'lchovi ekanligini ko'rsatdi.