И здан и е второе, стереотипное

§ 3. Доказательство третьей теоремы Фредгольма
Рассмотрим однородное уравнение
(/ — \ T * )v = 0, 
|Х| 
( 1)
сопряженное с уравнением (2.4). Мы сведем его к эквивалент­
ной линейной алгебраической системе приемом, немного отли­
чающимся от приема предшествующего параграфа.
Разложению Т = Т
Т" соответствует разложение со­
пряженного оператора Т* — Т'* 
Г '* ; при этом | г » | =

---

$ 3) 
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО 
т р е т ь е й
ТЕО РЕМ Ы Ф РЕД ГО Л ЬМ А
181 
= | Т  Ц ^ 2^-, а оператор Т '* конечномерный: если
Т 'и =
^
(a, u„)vk, 
ft=i
TO
Г '*® = 2 (v, vk)u k, 
(2)
й- i
На основании теоремы Банаха (теорема 8.2.1) заключаем, что 
оператор
/?:* = (/ — X Г *)~‘
существует, определен на всем пространстве и ограничен. 
Заметим еще, что операторы R j* и R x сопряженные.
В уравнении (1) сделаем замену неизвестной функции
v — R * w ; 
(3)
уравнение ( 1) примет вид
( l — iT * )R j* w =  0.
Имеем
(1
 
—
1 
т * ) R *  
= (/ — Х Г * — X Г '* )
r'z 
= 1 — 1 
r * R * ,  
и новая неизвестная удовлетворяет уравнению
к
Ч
Оператор T "* R i конечномерный
r * R ~ w =  2 ( K j V Щ )“ к =  21 (®. R iv k)u k =
п
= 2 (да« «»*. * )“ *• 
( б>
Обозначим
(од да*, 0  = Т*- 
С6)

---

Из соотношений (4) и (5) находим
П
w — l j ]  
= 0.
л=|
Умножив это скалярно на Wj, l s ^ / ^ я , получим однород­
ную систему
П
Тj 
^ 
== 0, 
/ = 1, 2, ... ,п, 
(7)
»=i
эквивалентную уравнению ( 1); величина чь/ определена фор­
мулой (2.11). Определитель системы (7) равен DR (X) (см. фор­
мулу (2.13)).
Пусть Аф | \  j sg R, есть характеристическое число опера­
тора Т. Тогда D
r
(А0) = 0, и матрица системы (2.10) вырож­
дается. Пусть г, 0 
<^п, — ранг этой матрицы. Тогда одно­
родная система (2.14) имеет ровно п — г линейно незави­
симых решений. Столько же решений имеет и уравнение (2.15); 
это означает, что ранг характеристического числа Ад равен 
п — г.
Матрицы систем (2.14) и (7) сопряженные, и их ранги 
равны. Отсюда следует, что \  есть характеристическое число 
оператора 7* ранга п — г. Третья теорема Фредгольма дока­
зана.