|
§ 3. Краевые условия и краевые задачи
Желая полностью охарактеризовать физическую задачу,
мы не можем ограничиться только дифференциальным урав
нением; необходимо добавить некоторые дополнительные соот
ношения, которые обычно носят характер так называемых
краевых (или граничных) условий.
Поясним сказанное на простых примерах. Колебания стру
ны описываются уже известным нам дифференциальным урав
нением
дга
dt2
8 д*и
д х г
--fix, t).
О )
Допустим, что струна имеет длину I и в состоянии равно
весия она занимала отрезок [0 ,1\ оси х. Далее допустим,
что в момент времени t = О струна была
выведена из положения равновесия и начала
колебаться. Задача состоит в том, чтобы ис
следовать отклонение и(х, t) точки струны
с произвольной абсциссой л £ [0, /] и в
произвольный момент, следующий за началь
ным, т. е. в произвольный момент £^>0.
Иначе говоря, функция u (x ,t), удовлетво
ряющая уравнению ( 1), должна быть опре
делена на плоскости переменных х и t в об
ласти,
изображенной на рис. 9; граница
этой области состоит из отрезка [0, /] оси х и из двух
лучей дг = 0, <^>0 и х — I, t^> 0.
Единственными данными в дифференциальном уравнении
( 1) являются величина а1, которая определенным образом за
висит ог физических свойств струны (от ее плотности и на
тяжения), и функция f(x ,t ), характеризующая внешнюю силу,
Рис. 9.
которая в момент времени t действует на точку х струны.
Но уравнение ( 1) не содержит, например, никакой информа
ции о том, каким образом струна была выведена из положе
ния равновесия, а также о том, каково состояние концов
струны; они могут быть жестко закреплены или, наоборот,,
свободны; может случиться, что концы струны не закреплены,
но их перемещения стеснены теми или иными ограничениями.
Указанная информация должна быть сообщена особо. Выве
сти струну из состояния равновесия можно, сообщив ее точкам
либо начальное смещение, либо начальную скорость, либо и
то и другое вместе. Пусть точке х струны, 0<; х ^ /, со
общены начальное смещение <р0 (х) и начальная скорость cp1(jf).
Тогда искомая функция u(x, t) должна удовлетворять соот
ношениям
(2)
Пусть еще известны законы колебания концов струны:
пусть в момент времени
0 ‘смещение левого конца стру
ны равно <|»i (0> а смещение правого конца — <1>з(0- Тогда
должны выполняться еще соотношения
м|*=о = <МО>
И|*-./ = <М0-
( 3)
Условия (3) нет нужды ставить, если струна бесконечная,
т. е. если она в состоянии равновесия заполняет всю ось х.
Дополнительные условия ( 2) и (3) должны выполняться
на линиях t — 0, х = 0, х = /, т. е. на границе области
(рис. 9), в которой должна быть определена функция и (х, ^)-
По этой причине указанные условия и называются гранич
ными или краевыми.
Заметим, что условия (2) и (3) не вполне независимы: если
требовать, чтобы искомая функция и(х, t) была непрерывной
не только внутри, но и на границе области своего определе
ния, то необходимо, чтобы
(о )— 4*1 (°)-
сРоОО='М °)-
( 4)
Соотношения (4) называются условиями согласования.
Они вытекают из требования, чтобы смещение концов струны
было непрерывным в начальный момент времени. Если требо
вать, чтобы на границе области (рис. 9) были непрерывны
также некоторые из производных функции н(х, t), то могут
возникнуть новые условия согласования. Так, если требовать
непрерывности первых производных, то необходимо
если требовать непрерывности вторых производных, то по
являются условия
Ниже (раздел V I) будет показано, что при достаточно
слабых ограничениях уравнение ( 1) имеет одно и только одно
решение, удовлетворяющее краевым условиям (2) и (3). Это
означает, что уравнения ( 1) — (3) содержат всю информацию,
необходимую для исследования колебания струны (решение
единственно), и не содержит избыточной, противоречивой ин
формации (решение существует).
Рассмотрим еще один пример. Пусть некоторое однород
ное изотропное тело занимает в трехмерном пространстве (jci,
х.г, дг3) область Q, ограниченную поверхностью Г. Допустим,
что в этом теле распределены источники тепла интенсивности
F" (х ) — F (x it х 3, х 3), независящей от времени. Это означает,
что в любой
подобласти 2' C Z ^ за любой промежуток
времени длительности
Ы
выделяется количество тепла,
равное
Допустим, что в теле установилось стационарное, т. е. не
зависящее от времени, распределение температур. Тогда тем
пература в точке _*r = (jci, x it дг3) тела удовлетворяет уравне
нию Лапласа
где функция f ( x ) только постоянным множителем отличается
от F (дг). Одного дифференциального уравнения (5) недоста
точно, чтобы вполне определить распределение температур
в теле 2 ; эго видно хотя бы потому, что уравнение (5)
имеет бесчисленное множество решений. Необходима допол
нительная информация. Ее можно получить, например, так.
<Р» (0) = ф! (0),
<р,(/) = ^ (0 );
(4а)
ФГ (0) —
То (0 )= / (0 , 0),
фа' (0) - а* <р5■(/) = /(/, О).
(46)
bt^F (х) dx.
(5)
Поверхность Г рассматриваемого тела доступна для наб
людений, и в любой ее точке температуру можно измерить.
Допустим, что нами измерена температура во всех точках по
верхности Г, и пусть в точке х £ Г температура и равна
Тогда мы получаем дополнительное краевое условие
н|г = ?(■*).
* Е Г -
(б)
В разделе V будет показано, что задача (5) — (6) имеет,
в довольно широких условиях, одно и только одно решение.
Если тело неоднородно и неизотропно, то мы приходим
не к уравнению (5), а к более общему уравнению вида
-
Do'stlaringiz bilan baham: |
