|
§ б. Проблемы существования, единственности
и корректности для краевой задачи
1.
Пусть поставлена некоторая краевая задача. Решить
ее
значит найти все функции, удовлетворяющие данному
дифференциальному уравнению и данным краевым условиям.
Обычно искомую функцию подчиняют еще некоторым огра
ничениям общего характера,; которые часто дают возможность
рассматривать эту функцию как элемент того или иного
функционального пространства; обозначим его через В\. Так,
ставя задачу Дирихле для уравнения Лапласа, можно требовать,
чтобы искомая функция была непрерывна в замкнутой об
ласти 2 = 2 у Г; в таком случае искомая функция, если она
существует, есть элемент пространства С (£2). Можно искомую
функцию подчинить другим ограничениям, например, можно
потребовать, чтобы интегралы
рассматривать как элемент такого гильбертова пространства,
в котором норма определена формулой
Г
дХт т
cos (X, Х т )
ди
]
г
/=1
•'г
т
т
в
s
я А=1
были конечными. В этом случае искомую функцию можно
II м II8 = $ {“а + (8rad
u ?} dx.
Q
Ограничения, накладываемые на искомую функцию, выну
ждают накладывать некоторые ограничения и на заданные
функции, входящие в правые части дифференциального урав
нения и краевых условий. Обычно в таких случаях оказы
вается, что совокупность этих правых частей также можно
рассматривать как элемент некоторого другого функциональ
ного пространства B t. Во многих интересных случаях про
странства В\ и
банаховы.
Рассмотрим тот случай, когда дифференциальные выраже
ния, входящие как в дифференциальное уравнение, так и
в краевые условия, линейны. Совокупность этих дифферен
циальных выражений порождает некоторый линейный опера
тор 91, который действует из пространства В\ в пространство
Вч и преобразует искомую функцию и (х ) в упомянутую выше
совокупность правых частей дифференциального уравнения
и краевых условий. Обозначая эту совокупность через Ф,
можно записать нашу краевую задачу в виде уравнения
3(н = Ф.
(1)
Оператор 91 будем называть оператором данной краевой
задачи.
Теперь можно сказать, что решить краевую задачу — значит
найти все элементы пространства B v которые преобразуются
оператором 31 в заданный элемент Ф
jЭ4.
Обычно стараются ставить краевые условия так, чтобы
краевая задача имела одно и только одно решение. Это тре
бует в каждом случае доказательства теоремы существования
и теоремы единственности. Теорема единственности равно
сильна утверждению, что существует оператор 3(“ \ обратный
оператору 91. а теорема существования — что область значений
оператора 9( совпадает с пространством В%. Если верны обе
теоремы — единственности и существования, то оператор 9Г1
существует и определен на всем пространстве
При решении краевых задач играет важную роль, кроме
вопросов существования и единственности решения, еще и
вопрос о так называемой корректности краевой задачи.
К понятию корректности легко подойти с помощью про
стых физических соображений. В основе определения физи
ческих величин в конечном счете лежит процесс измерения,
который всегда связан с некоторой погрешностью. В част
ности, с погрешностью определяется и элемент Ф в уравнении
(1 )— совокупность данных краевой задачи. Возникает вопрос:
как погрешность в данных краевой задачи отразится на ее
решении? В связи с этим вопросом находится следующее
определение.
Краевая задача называется корректной в паре банаховых
пространств B t и B it если решение краевой задачи един
ственно в B i и сущ ествует при любых данных из В г и
если д остаточн о малому изменению начальных данных
в норме B i с о о т в е т с т в у е т сколь угодно малое изменение
решения в норме B t.
К вопросу о корректности мы вернемся в конце книги,
в разделе VII, где, в частности, будет показано, что коррект
ность задачи ( 1) равносильна ограниченности оператора
Здесь мы ограничимся тем, что приведем два примера некор
ректных краевых задач. Первый пример принадлежит Адама
ру, который впервые ввел понятие корректности краевой задачи,
2. Рассмотрим уравнение Лапласа на плоскости
‘
£
+
? - = 0-
<2)
В качестве поверхности Г возьмем ось х и на ней зададим
данные Коши. Окрестностью, в которой мы будем искать
решение, пусть будет полоса 0 < ^ < ^ 8, где 8 — произвольное
положительное число; эту полосу обозначим через 2. В ка
честве некасательного направления X возьмем у. Условия Коши
нусть будут такие:
ди
ду
, „ 0= 0>
— 00< Л Г < 00.
(3)
Задание совокупности данных равносильно заданию единст
венной функции ср (лг), которую будем считать непрерывной
и ограниченной на всей оси. Тогда эту функцию можно рас
сматривать как элемент пространства С (— оо,
оо), которое
в нашем случае играет роль пространства В 2. За B i примем
пространство С (2 ) функций, непрерывных и ограниченных
в полосе 2. За область определения оператора краевой за
дачи (2) — (3) примем множество функций из С (Q), имеющих
непрерывные вторые производные и удовлетворяющих условию
Г
= 0.
ду v = о
Докажем, что в паре пространств B v B t задача/(2) — (3)
некорректна. Можно доказать единственность решения этой
задачи. Отсюда легко следует, что функции <р (х ) ~ 0 соот-
ветствует решение м = 0. Сообщим теперь функции ср (
jc
) = О
малое (в норме пространства Z?a) изменение: рассмотрим за
дачу Коши для уравнения (2) с данными Коши
cos
пх
ди
ду у —о
и
= О,
(4)
у=о
п
где п — достаточно большое натуральное число.
Решение новой задачи есть
,
.
cos
пх ch пу
t t ( x , y ) — ------— SL,
что легко проверяется подстановкой в уравнения (2) и (4).
Очевидно,
II? 11*2=
В то же время
cos
пх
в>
cos
пх
II" Р г=
шах
— оо< дс< со
max
— ОО <-V<-fcO
cos
nx ch пу I __ ch nb
0 .
oo.
Таким образом, сколь угодно малые (по норме В 9) изменения
данных могут вызвать сколь угодно большие (по норме B t)
изменения решения. Это значит, что задача Коши для уравнения
Лапласа в рассмотренной нами паре пространств некорректна.
3. Рассмотрим уравнение
дги
(5)
dxtdx2'
Это уравнение — гиперболического типа. Действительно, мат
рица его старших коэффициентов имеет вид
_1_
2
ее характеристические числа
-X
корни уравнения
— суть Х,==у, Х,=
ные знаки. Заметим еще, что уравнение (5) переходит в одно
-g-; они отличны от нуля и имеют раз-
родное уравнение колебаний струны, если сделать замену
независимых переменных
X t = x - \ - a t ,
х ч = х
—
at.
Для уравнения (5) поставим задачу Дирихле в квадрате
рис. 11; этот квадрат обозначим через 2 , а его контур —
через Г. Условия на Г пусть имеют вид
И U
,= 0
=
? 1
(х2)>
«
и» = о =
(х,), '
и и, = г = ®а (ха), Н U = i = фа(х,).
За B t и В<ц примем пространства С (2 )
и С (Г) соответственно. Чтобы решение
могло быть непрерывным, должны быть
выполнены условия согласования
хг
хг-/
Г
т °
Q
хг 1
О
x fO
х,
Do'stlaringiz bilan baham: |
