ОБЩИЕ
СВЕДЕНИЯ ОБ УРАВНЕНИЯХ
В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ
Г Л А В А 9
УРА ВН ЕН И Я И К Р А Е В Ы Е ЗАДАЧИ
§ 1. Дифференциальное выражение
и дифференциальное уравнение
В самом
общем случае дифференциальное уравнение
в
частных производных с т независимыми переменными
можно написать в виде
d
.. ..
ди
ди
д3и
dhu\
п
. ..
( 11 *........
Х т '
дхх ’ •••’
дхт ’
............
наивысший порядок
k производной от неизвестной функции,
входящей в дифференциальное уравнение, называется его
порядком. Нетрудно
написать также общий вид системы
дифференциальных уравнений в частных производных.
В этой книге рассматриваются почти исключительно
ли
нейные уравнения в частны х производных второго порядка.
Как и в предшествующих разделах, совокупность значений пере
менных (дг1(
X *,. . . , х т ) будем рассматривать как точку
х т- мер
ного евклидова пространства
Е т с координатами дг^
х& . . . , х т .
В уравнениях, связанных с задачами физики, независимые
переменные часто суть время и пространственные коорди
наты; для их обозначения мы
иногда будем пользоваться
буквами
t, х, у, z.
Линейное уравнение второго порядка с неизвестной функ
цией
и и с независимыми переменными
x v
..., х т в самом
общем случае имеет вид
2 А» М ш к + 2 А> м ш , + А-(х )“ = т
'
(2)
/.* = I
*=i
где
A Jk, Ак, Л0, / суть заданные функции от
х.
Уравнение (2) на самом деле содержит при /
Ф k не от-
Выражение
AkJ можно разбить на два слагаемых ка
ким угодно способом, и
мы всегда будем считать, что
так что матрица коэффициентов при вторых производных
(«матрица старших коэффициентов») оказывается симметрич
ной. Эта матрица в дальнейшем будет играть весьма важную
роль.
Левую часть уравнения (2) будем называть
дифферен
циальным выражением второго порядка.
Функция
f(x ), стоящая в правой части уравнения (2),
называется его
свободным членом. Как обычно, различают
уравнения
однородные,
когда
f (х ) = О, и
неоднородные,
когда
f (x ) =£
0.
Рассмотрим некоторые примеры.
1.
Уравнение колебаний струны
Здесь
т = 2; свободный член f ( x , t ) пропорционален внеш
ней силе, действующей в точке
х струны в момент времени
t.
Матрица старших коэффициентов имеет вид
В более сложном случае, когда струна колеблется в среде
с сопротивлением,
пропорциональным скорости, уравнение
колебаний струны записывается так:
дельные слагаемые
Ajk
»Щ д Гк и
>
а их сумму
А к/ (“*0 —
(л).
(
3
)
(4)
(5)
д*и
*д*и ,
.ди
Ж* ~ а дх*~^Н ~dt ^ ^ Х> )’
ft = const
( 6)
Матрица старших коэффициентов по-прежнему имеет вид (5).
2.
Уравнение колебаний мембраны
д*и
<
>
(д*и .
д*и