И здан и е второе, стереотипное

1
 (0),
Рис. 11. 
<р1(1) = фа(0). 92(1) = 4*2(1 )•
З&дача (5 ):— ( 6) неразрешима при произвольно заданных не­
прерывных функциях ( 6). Чтобы убедиться в этом, найдем 
общее решение уравнения (5). Представив его в виде
=
видим, что 
= / (х 2), 
где функция f  произ­
вольна, Интегрируя, далее, по 
х г, 
получим
и
(х „ х.2) =
Ь\
(х ,) -|- 
Ft
(х.2), 
F i ( x t) = f ( x
а),
где F j и F i — произвольные функции. Можно удовлетворить 
первым двум условиям ( 6):
F
] (0 ) 4~ 
F
а 
(х 2) =
(Ха),
Ft (xi) -j- Fa (0) = ф^ (Xj).
Одна из постоянных F i(0 ) и F a(0), очевидно, остается про­
извольной. Положим F i ( 0) = 0. Тогда
Fi
(х ,) = ф, (х ,), 
Fi
(х 2) = <р, (х 2) — Ф
1
(0).
Решение определено полностью; равенство F s(0) = 0 вытекает 
из первого равенства (7). Ясно, что удовлетворить оставшимся 
краевым условиям (6) невозможно, если функции 
и ф9 
произвольны.
Из сказанного следует, что задача (5) — (6) некорректна 
в паре пространств С (2 ) и С(Г).

---

ХАРАКТЕРИСТИКИ. КАНОНИЧЕСКИЙ ВИД. 
ФОРМ УЛЫ ГРИНА
§ 1. Преобразование независимых переменных
Пусть дано уравнение в частных производных второго 
порядка, линейное относительно старших производных
771
...&)-* <
ч
Допустим, что вместо независимых переменных х х, х г,
E, = Er (jc1>
х4, 
х т ), 
г = 1, 2, . .. . т . 
(2)
Выясним, как при этом изменится наше уравнение.
Для упрощения записи условимся не писать знака суммы, 
руководствуясь при этом следующим правилом: если в неко­
тором одночленном выражении дважды повторяется перемен­
ный индекс, принимающий значения от 1 до т , то по этому 
индексу производится суммирование от 1 до т . Уравнение
( 1) можно теперь записать проще:
. , , д-и 
. 
ди 
ди 
ди \ __п
“ * a v
........а д - 0'
Допустим, что в некоторой области изменения точки х  
преобразование (2) взаимно однозначно, а его якобиан от­
личен от нуля. Такое преобразование независимых перемен­
ных будем называть невырожденным. Предположим еще, что 
функции 
имеют непрерывные вторые производные. Вычис­
лим встречающиеся в уравнении ( 1) производные
ди 
ди д£г 
д'и __ дги dir dss , ди д*1г

---

Подставив эти выражения в уравнение (1), получим новое 
уравнение
л 
I Л U 
t 
„ д и д и
ди\____п
Jk дхк дх,
+ Ф ‘ [ * ....... ^ и’ д^’ дТ3' •••’ dQ ) — 0,
Ф 1 = Ф 4 - >1
1 
J " dxjdxk dhr
Введем обозначение
А 
^6$ -- 4 
/04
А' к Щ д 7 , 
rr
Тогда уравнение ( 1) принимает вид
А,
dirdls
+ Ф‘ ( £l.......
%
’ •1 * ’ 
% t) —
° ’ 
(4)
Таким образом, при преобразовании независимых перемен­
ных уравнение ( 1) переходит в уравнение того же вида, что 
и исходное; меняются лишь его коэффициенты. Заметим, что 
матрица старших коэффициентов уравнения (4) симметрична
2  
л 
dSr dZs __ . 
dZs д^г
rs 
Jk дхк дх/ 
ki dxjdxk
Меняя в последней сумме обозначения j  и к местами, получаем
dcs ! дхкдх]'
Т е о р е м а 10.1.1. Тип уравнения в частн ы х производ­
ных ( 1.1) не м ен яется при невырожденном преобразовании 
независимых переменных.
Из алгебры известен ^следующий факт. Пусть некоторая 
матрица приведена невырожденным преобразованием к диаго­
нальному виду. Тогда количества положительных, отрицатель­
ных и нулевых собственных чисел данной матрицы соответ­
ственно равны количествам положительных, отрицательных и 
нулевых диагональных элементов преобразованной матрицы.
Обозначим через J  якобиеву матрицу преобразования (2). 
Ее определитель — якобиан этого преобразования — отличен 
от нуля, поэтому существует обратная матрица Т  *. Формула
(3) равносильна матричному равенству
A — JA f , 
(5)
в котором штрих обозначает транспонированную матрицу.
А
__
A
Ss 
__
А
rs—
-- 3— -Лг

---

Пусть невырожденное линейное преобразование с матри­
цей о преобразует матрицу А в 'диагональную матрицу D
А = о£)з'.
Тогда по формуле (5)
А = JoDa’f =  (Jet) D ( Л )',
и матрица А сводится невырожденным преобразованием (с 
матрицей Уз) к той же диагональной матрице D • В таком 
случае количества положительных, отрицательных и нулевых 
собственных чисел матриц А и А соответственно совпадают. 
Это и требовалось доказать.