И здан и е второе, стереотипное

5 - + Хи= °
<*>
имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее условиям
Общий интеграл уравнения (1) можно записать так:
и (х ) = С sin ]/Х (л ; — a ) -j- Q cos у/А(х  — а).
Условие и (а )= 0 дает С\ = 0 и и (х )= С sin j/ X (jc — а). 
Из условия и (Ь) —  0 находим С sin j/X (b — а) =  0. При этом 
необходимо С ф  
0
— в противном случае получится тривиаль­
ное решение и —  0. Но тогда sin j/X (b — а) = 0. Отсюда 
находим собственные числа
п=1, 2
........... 
(
3
)
и собственные функции
и (а) — и {Ь) —  
0
.
(
2
)
Постоянную Сп получим из условия нормировки

---

2. 
Найдем нетривиальные решения уравнения (
1
) при 
краевых условиях
и' (а) = и' (Ь) = 0. 
(5)
По-прежнему общий интеграл 
u(jc) = Csin i/X (jc — в)~ Ь 
-f- Ci cos 
(x  — а). Из условия 
и'(а) 
= 0 вытекает, что 
С = 0, а из условия и'(&) = 0, что 
sin 
— а) = 0.
Отсюда находим собственные числа
=
ajii 
п — 0, 
1
, 2, ... , 
и нормированные собственные функции
2
rtn (х — в)
Ь -
cos •
У-—
•, 
л =
0
, 
1
, 
2
,
§ 9. Минимаксимальный принцип
Пусть А — положительно определенный оператор, удов­
летворяющий условию теоремы 
6
.
6
.
1
: любое множество, огра­
ниченное в энергетической метрике, компактно в метрике 
исходного пространства. Тогда спектр этого оператора ди­
скретен; пусть Хя и и„, л =
1
, 
2
, . .. , — собственные числа 
и соответствующие им собственные элементы оператора А, 
ортонормированные в исходном пространстве. Поставим сле­
дующую задачу: найти минимум функционала
Ф л (и )= |и &
(
1
)
на множестве элементов энергетического пространства Н А, 
удовлетворяющих дополнительным условиям
||и|
1
а== 
1
 
(
2
)
и
(и, г>,) =
0
, (гг, г/9) =
0
....... (и, г/*_,) =
0
, 
(3)
где i>i, Tfa, . . . , vh i — фиксированные элементы исходного 
пространства N. Описанное здесь множество элементов будем 
рассматривать как область определения функционала 
Ф и 
и 
обозначать через 
£> (Ф д). 
Докажем, что на множестве 
О ( Ф д )
минимум 
Ф д
(гг) достигается. Заметим прежде всего, что функ­
ционалы (гг, 
V j )
ограничены в Н А
|(« , 
V j
) ] <
|j 
и
||. Ц 
V j
|| ^
И |д,

---

где у0 — нижняя грань оператора А. По теореме Риса суще­
ствуют такие элементы W j £ Н А, что
(и, v j) — [u, Wj\A, у = 1» 2> .... к — 1; и £ Н А.
Дополнительные условия (3), которым теперь можно придать 
вид
[н, а»,] —
0
, [н, wt] =
0
, . .. . [«, «>*_,] = О,
определяют подпространство Н А, ортогональное к 
wit ... 
...» 
обозначим его через .£>*.
Нашу вариационную задачу можно сформулировать так: 
найти минимум функционала (
1
) на множестве элементов под­
пространства 
удовлетворяющих дополнительному условию 
(2). Теперь достаточно повторить рассуждения п. 1 теоремы
6
.
6
.
1
, и мы убедимся, что в jQk существует элемент w, 
]|«)|| =
1
, реализующий минимум нашего функционала. Этот 
минимум обозначим через Х(г;„ vt, 
x»a_i).
Минимаксимальный принцип состоит в равенстве
max X (г»!, г>4, . . ., v k_i) = ХА; 
(4)
максимум берется по всевозможным наборам элементов v t, 
vt, 
vh_v принадлежащих исходному пространству Н. 
Доказательство минимаксимального принципа сводится к уста­
новлению двух фактов: 
1
) Х ^ , г
>
8
.......vk j ) ^ X ft; 
2
) сущест­
вуют такие элементы v'f' £ И, что X(tiJ0’, v'%', . . . ,
i) = Xft. 
Установим эти факты.
Пусть к — произвольный элемент энергетического про­
странства Н А. Система {н „} ортонормирована и полна в про­
странстве Н; разложим по этой системе элементы и к Vj
СО
« =
2
«/.«/.- 
(5) 
л
=1
со
vJ = '£ , bJnUn> /=1> 2 ,. . .. к.
п—\
Система {и „} ортогональна и полна в Н А, при этом 
|и „|д = Хп. Но тогда система {ип/У^а\ в Н А ортонормиро­
вана и гголна; разложение элемента и 
Н А по этой системе,

---

очевидно, имеет вид
« = E v /x» a« v r -
(в)
л=1 
У я
По уравнению замкнутости
ОО
\и^А = ^ К а % . 
(7)
Я—I
Возьмем в качестве и конечную сумму
k
% ===: