|
Разделив уравнение (
8
) на г (лг), приведем его к виду
(7)
и соответствующие им собственные функции
Wj (х), •.. j иа (х), *..,
(70
Г ( А )
Й ( /,(д:)£)-9<дг>и] +
Хн= 0-
Введем пространство
Ц (г; а, Ь) функции, которые на интервале
(а, Ь) квадратично суммируемы с весом г (х) *); норма и скаляр
ное произведение в этом пространстве определяются формулами
ь
ь
|| и ||3 = | г (х) и 3 (х) dx,
(к, ») = $г (х) и (лг) v (х ) dx.
(10)
а
а
В этом пространстве рассмотрим оператор
В,
который действует
по формуле
s“ = "r
т Г ) [ ~ М
р ( х ) ^
) + ч ( х ) а ] -
(11)
Определим этот оператор на том же множестве функций, что
и рассмотренный выше оператор
А;
таким образом,
D (В)
есть мно
жество функций, непрерывных на сегменте [а, Ь] и удовлетворяю
щих условиям (2); первые производные этих функций на том же
сегменте абсолютно непрерывны, а вторые суммируемы с квадратом.
Оператор
В
положительно определен в пространстве
Н —
= L 8 (г; а, Ь). Действительно, он симметричен: если и, v £ D ( B ) , то
(Ви, v )= ^ u [ - { L ( p £ ) + qu]dx =
а
Ъ
И
da dv .
N.
/
D \
P d m
+ q u v ) dx= :i{a' B v ) -
а
Далее, он положительно определен, что доказывается так. Прежде
всего
ь
ь
(Ви, и) — §(/>«'* + qu’) d x ^ p 0^ u'3dx.
(12)
a
a
Функция
и
(x) обращается в нуль на концах сегмента fa,
b\,
поэтому
и
(а) = 0 и
____х
У г (х) и
(л:) =
У г (х)
j и' (0
dt.
а
Будучи непрерывной на сегменте, функция
г (х)
ограничена. Пусть
г (л:)
г „ тогда
г (х) и* (дг) s£rj ^ и '(t) dtj
г, (л: — a) J и'* (t) dtsg
b
< r , (b — d)\ u'a(t) dt.
a
‘) Очевидно, пространства L, (r; a, b) и L3 (a, b) состоят из одни*
и тех же функций.
Интегрируя это по л: в пределах от
а до Ь, находим
ь
ь
5 «'* (О л 2S
г Л Ь Х
_ а),
5 г
(х)
«* М ^ = rTT^
a )i IIIIII*;
а
в конечном счете
о
(Ви, и) =г -
а)1 jj г (х) и* (* )
=
Л
г, « .- а
) 1
что и доказывает положительную определенность нашего оператора.
Докажем, наконец, что любое множество, ограниченное в
HR,
компактно в
Н — L.2 (г; а, Ь). Нетрудно убедиться, что пространство
Н в состоит из тех же функций, что и энергетическое пространство
оператора (1) — (2); эти функции, в частности, удовлетворяют усло
виям (2), и потому для них справедлива формула (5).
Пусть 5Ш
cz H s — множество функций, ограниченное в норме Н д
I и |в -g С = const,
и
£ ЗД.
Из формулы (12) легко усмотреть, что
ь
ь
I «
\в = $ (Р 11'* + Яи*) dx S5/>o J
dx,
и, следовательно,
ь
r>dx^~, и с т.
(
13
)
Ра
’
о
« '
11
*= jb'*.
Формулу (5) преобразуем к виду
ь
У г (X) и (X) = $ Ki (х, t) и‘
(0
dt,
(14)
где
10,
х
Функция ATi
(х, t) ограничена, а тогда интегральный оператор (14)
преобразует множество функций
и' (х), ограниченное в £, (а, Ь)
(неравенство (13)!), в множество функций
У г (х) и (х), компактное
в
L 3 (а, Ь). Это значит следующее: из множества ЗИ можно выде
лить такую последовательность
{ « „ (
jc
) } ,
ч т о
_
ь
II
У 'г и п — У г и т II*
= Сг
(х) [«„(.*) — um(x)]*dx — 0.
£» (в. ft)
^
п, т
-* 0
Но последнее соотношение означает просто, что
II
ип — ит
IU, (,;
а. Ь
)
О*
'
' п, т~>со
Таким образом, из множества SW можно выделить последователь
ность, которая сходится в себе в норме
L « (r;a ,b ), значит, в про
странстве
L t (r,a ,b ) множество SDi компактно. По теореме 6.6.1
оператор
В имеет дискретный спектр, иначе говоря, существует
счетное множество чисел ) „ > 0 ,
—* оо, при которых задача (8),
п —*со
(2) имеет нетривиальные решения, и совокупность этих решений
полна как в
Lt (г; а, Ь), так и в Н в- Если по-прежнему эти решения
обозначить через
ип (х), то они ортонормированы в L 2 (г; а, Ь) и
ортогональны в
Н „
О
ъ
$
Г
(*^)
ип
Um
а
Ь
$ \р (х) К (х) и ’т (х) + q (х) ит (х) ип (л:)] dx = 0, т ф п .
а
Кроме того,
ь
J
\Р (х ) ип (х)
+
я (х)и%
(дг)]
d x
=
1п.
а
Собственные числа Х„ все простые — это следует из того, что диф
ференциальное уравнение (8) второго порядка. Действительно, пусть
собственному числу
соответствуют две линейно независимые
собственные функции:
ип (х) и ит (х). Прежде всего, u'n (Q)jbO —
в противном случае функция и„ (дг), отличная от тождественного
нуля, была бы решением задачи. Коши для однородного уравнения
^ { pj P l - 4U+ K rU = °
(15)
при однородных начальных условиях
«п (°) = “ ; ( 0) = 0-
что противоречит теореме единственности для задачи Коши. Ана
логично
и'т (0)ф 0. Теперь функция
„
- .
и п
(-У)
и т (х)
(Х> ~ ип
(
0
)
и'т
(
0
) •
отличная от тождественного нуля, решает iy же однородную задачу
Коши, что невозможно.
§ 8. Элементарные случаи
Фактическое определение собственных чисел и собствен
ных функций оператора на основании теорем §§ 4— 7 натал
кивается на большие технические трудности, поэтому пред
ставляют интерес те частные случаи, когда спектр оператора
можно найти элементарными средствами. Два таких случая
приводятся ниже.
1.
Оператор А (§ 7) рассмотрим в том простейшем част
ном случае, когда р (л г)= 1 , q (х ) ~ 0. Дело сводится к оты
сканию тех значений X, при которых дифференциальное
уравнение
'
Do'stlaringiz bilan baham: |
