И здан и е второе, стереотипное

§ 7. Задача Штурма — Лиувилля
Рассмотрим оператор
А
я
= - Ъ
с
[
р
Ю
ш
\ +
ч
Ш
(1)
на множестве D (A ) функций и, непрерывных на сегменте 
[а, Ь], имеющих абсолютно непрерывную первую производную 
и суммируемую с квадратом вторую производную, при крае­
вых условиях
и (а) = н 
(Ь) =
 0. 
(2)
На функции р (х ) и q (x ) налагаем те же условия, что и 
в § 
8
гл. 5. Напомним эти условия: функции р(х), р'(х), 
Я (х ) непрерывны на сегменте [а, Ь], р ( х ) ^ р 0, где ра — по­
ложительная постоянная; q ( x ) ^  
0. 
Задача состоит в иссле­
довании спектра оператора А.
Докажем, что этот оператор имеет в Z.s(a, b) дискретный 
спектр. Мы знаем, что оператор А положительно определен, 
и достаточно убедиться в том, что он иереводиг множество,

---

ограниченное в Н А, в множество, компактное в
H = L t (а, Ь\
По формуле (8.7) гл. 5 имеем
ь
|«Р = $(Р (*) «'* +
Я
(* ) «*] 
dx.
а
Отсюда
ь
[u f ^ p ^ u ^ d x .
(
3
)
а
Дальнейшее опирается на следующую теорему, которую мы 
пока примем без доказательства. Более общая теорема будет 
доказана ниже, в § 2 гл. 7 (теорема 7.2.2).
Т е о р е м а 6.7.1. П у с ть функция K (x ,t ) определена 
почти всюду в квадрате a ^ x ^ b ,
измерима
и ограничена в нем. Тогда интегральный оператор
переводит всякое м нож ество функций, ограниченное в 
Ц (а, Ь), в м нож ество функций, компактное в т о м ж е  
пространстве.
Для функций и (^ Н А справедливо тождество
Пусть дано множество 9Л функций, ограниченное в энер­
гетической метрике
ь
(4)
а
х
и (х) = ^ и’ 
(0
dt.
(б)
а
Введем в рассмотрение ограниченную функцию
и перепишем последнее тождество в виде
ь
u (x ) = \ K (x ,t)u '(t)d t.
а
у и ^ т ,  | и | ^ с = const, 
m < z vA. 
(в)

---

Тогда из нерааенства (£) следует
ь
Таким образом, множество производных o', где и £ ЗЛ, 
ограничено в Z.
4
(a, b). А так как оператор (5) переводит 
любое множество, ограниченное в Ц (а , Ь), в множество, 
компактное в том же пространстве, то ЭИ компактно в 
L t (а, Ь). По теореме 6.6.1 спектр оператора А дискретен: 
этот оператор имеет бесконечную последовательность собст­
венных чисел
относительно которых можно считать, что 
|| и || == 
1
и 
(“ *> мт ) = 0 (А Ф  w ); система (7') полна в каждом из про­
странств Z
.9
(а, Ь) и Н
а
- В энергетической метрике собствен­
ные функции по-прежнему ортогональны: [ик, иот] =
0
(k ф т ), 
но они там не нормированы, так как |и „|= |/ Х ^
Напомним, что отыскание спектра оператора А, рассмот­
ренного в настоящем параграфе» равносильно следующей 
задаче: найти такие значения параметра А, при которых су­
ществуют нетривиальные решения уравнения
удовлетворяющие краевым условиям (
2
).
Можно поставить более общую задачу. Рассмотрим уравнение
с краевыми условиями (
2
); коэффициенты р (х) и а (х) подчиним 
прежним условиям и будем еще считать, что г£ С \а,Ъ ] и что 
г (х) 3: 
г0 
== const >
0
. Исследование спектра этой задачи подходит 
под общую схему настоящей главы.