И здан и е второе, стереотипное

I [<Р
к,
т»*
1
л — *i (<Р*. 
Чк)
I <
С V l
 
\\
—
К
(?)
В неравенстве (5) правая часть стремится к нулю, а сле­
довательно, стремится к нулю и левая часть, причем это 
стремление равномерно относительно выбора элементов щ, 
удовлетворяющих неравенству (4). Имея это в виду, положим
■Пк = ? к — Т т ’
где номер т  произволен. Такой выбор % допустим по сле­
дующим соображениям: числовая последовательность |<рл|д 
стремится к пределу и потому ограничена: существует такая 
постоянная С, что | ^pn 
|а
С, а тогда | % [л =^5 2С.
Теперь из неравенства (5) следует, что
11т { [ ? * ,

— <рт ]д — X, ((р*, <р* — <рт ) } = О,
Л-*оо
причем стремление к нулю равномерно относительно т . Если 
так, то можно устремить т  -> оо, и тогда
lim { [
(
 tp* —
0
. 
(
6
)
k, Г71-ЮО
Номера k и m здесь равноправны; поменяем их местами
lim 
{[ 9 т —
—
К (< ?т>
 9 к ) }
= 0- 
( 7 )
к, т —оо
Сложив неравенства (
6
) и (7), получим
lim {|<р* —
fr, 
m-+
oo
и в силу соотношения (
2
)
|
0- 
(8)
к, m-*со
Итак, минимизирующая последовательность сходится в себе 
в пространстве Н А. Но это пространство полное, следова­
тельно, последовательность 
сходится в Н А, причем к то­
му же элементу, 
к 
которому она сходится и в Н. Таким

---

образом, Щ ^ Н А 
и
| ?к —
Н1
“ ► 
0
.
А-»оо
Но тогда
|и ,|i = lirn |cpfcft = Xi;
А
-*00
при ЭТОМ
||Hj|]= lim ||cpft||= l.
k—co
Итак, существует элемент Щ (~НА такой, что ||i/j||= l и 
|н, |Л = Х,. Это означает, что нижняя грань функционала (1) 
достигается. По теореме 6.4.1 эта нижняя грань X, есть наи­
меньшее собственное число, а щ — соответствующий ему 
собственный элемент оператора А.