И здан и е второе, стереотипное

 
(
8
) 
Я
—1
где числа ап произвольны. Если мы потребуем, чтобы эле­
мент (
8
) удовлетворял условиям (3), то получим систему 
k —
1
линейных однородных уравнений с k неизвестными 
• •«f dff
k
=
/==1,2....... A — 1. 
(9)
л
=»1
Число 
уравнений 
меньше 
числа 
неизвестных; поэтому 
система (9) имеет бесконечное множество решений. Из них 
хотя бы одно можно выбрать так, чтобы
1
И а=
2
> | =
1
.
Я
=1
Тогда 
Ф д). При этом по формуле (7)
I а [А =
Я
=1
Заменив здесь все Х„ наибольшим из них, X*, получим
|и | \ ^ к ^ ак = К
п=\
Но й есть один из элементов множества 0 (Ф А), поэтому 
тем более,
K vv vi.......Ч -i) —  miп Ф д (м) ^ А*.
й €
0
(Фд)

---

Что знак равенства достигается, доказывается совсем просто: 
достаточно взять
v°j = uj, / =
1
,
2
, . . . , £ .
Справедливость минимаксимального принципа доказана.
Из минимаксимального принципа вытекает важная теорема, 
позволяющая во многих случаях сравнивать собственные 
числа двух операторов. Прежде чем формулировать эту тео­
рему, введем одно новое понятие.
Пусть А и В  — положительно определенные операторы, 
действующие в одном и том же гильбертовом пространстве
Н . Будем говорить, что оператор А не меньше оператора
В , и записывать это в виде А ^ В  или В ^ А ,  если 1) любой 
элемент пространства Н А принадлежит и пространству Н&
2
) для любого элемента и £ Н А справедливо неравенство