И здан и е второе, стереотипное

§ 
2
. Собственные числа и собственные элементы 
симметричного оператора
Т е о р е м а 6.2.1. Собственные кисла симметричного 
оператора вещественны.
Скалярно умножим первое из равенств (1.5) на к", вто­
рое — на i i  и из второго вычтем первое:
(Аи” , i0 ~ (А п ', и") = Х"(]1г/|Г-Н]и"||*); 
(1)
в силу симметричности оператора А это равно нулю. Соб­
ственный элемент и' -{- 1и"ф 0. Тогда либо к*, либо и" отлично 
от нуля и скобка в (1) положительна. Отсюда следует, что 
Х" = 0 и собственные числа вещественны. Система (1.5) при­
нимает вид
Аи’ = XV, 
Аи" =  Х'н",
и каждый из отличных от нуля элементов и’, и" есть соб­
ственный элемент, соответствующий собственному числу X',

---

Т е о р е м а 6.2.2. Собственные элементы симметричного 
оператора, соответствую щ ие различным собственным 
числам, ортогональны.
Пусть X, и \  — собственные числа симметричного опера­
тора А и Х ^ Х * Пусть собственному числу Xi соответствует 
собственный элемент щ, а собственному числу \  — собствен­
ный элемент ut.
Напишем тождества
Aity — \щ , 
Ащ —
Первое тождество умножим скалярно на щ, второе — на щ 
и вычтем второе из первого:
{Ащ, иа) — (Лм2, «О = (Xj — Xj) (и „ щ).
Так как А — симметричный оператор, то левая часть равна 
нулю и, следовательно,
(Xj — Xj) (uj, н„) =
0
.
Но 
Xj — X,, ф  0. Отсюда
(«
1
, 
1
Ц) =
0
.
Теорема доказана.
С л е д с т в и е 6.2.1. В сепарабельном гильбертовом про­
стр ан стве симметричный оператор имеет не более чем 
счетное множество собственных чисел.
Если одному собственному числу соответствует несколь­
ко линейно независимых элементов, то их можно подвергнуть 
процессу ортогонализации. Собственные элементы можно также 
и нормировать, и мы приходим к следующему важному выводу: 
всегда можно с ч и т а т ь , ч т о собственные элементы сим­
метричного оператора 
образуют 
ортонормированную 
систем у.