И здан и е второе, стереотипное

§ 1 0 . Случай только положительного оператора
Положительный, но -не положительно определенный оператор 
будем называть 
только положительным. Для только положитель­
ного оператора можно построить энергетическое пространство так 
же, как это делалось для оператора положительно определенного. 
При этом возникает, однако, одно существенное различие: можно 
доказать, что среди идеальных элементов энергетического простран­
ства обязательно будут такие, которые не принадлежат исходному 
гильбертову пространству.
Рассмотрим, например, оператор 
В , исследованный в § 2. Напом­
ним, что он определяется формулой
и что область его определения состоит из функций класса С '” (О.оо), 
которые обращаются в нуль при 
х = 0 и при х 5? аш где аи — постоян­
ная, своя для каждой функции и £ 
D (В). Нетрудно доказать, что 
энергетическое пространство 
Н в состоит из функций со следующими 
свойствами: 1) на сегменте [0, 
а], где а — любое положительное 
число, 
функция 
и £ Н в 
абсолютно непрерывна; 2) ы (0 )= 0 ; 
3) 
и' £ L 2 (0, оо). Так, функция и (х) = In (1 -f дг) принадлежит про­
странству 
Нв, но не принадлежит исходному пространству Z.s (0, оо).
Для только положительного оператора остается в силе тео­
рема 5.6.1: энергетическое пространство сепарабельно тогда и только 
тогда, когда сепарабельно исходное пространство.
Если 
А — только положительный оператор, а 1 — линейный функ­
ционал, то задача о минимуме функционала
решается в точности так же, как в предшествующем параграфе: 
так как 
(Аи, ы ) = | ы | 2, мы запишем функционал F в виде
Если 
I не ограничен в Н А, то наша вариационная задача не имеет 
смысла, если же / в 
Н д ограничен и определен на множестве, плот­
ном в 
Н А, то 1(и) = [и, и0], где и0£ Н А существует и определяется 
единственным образом; этот элемент и реализует минимум 
F  в энер­
гетическом пространстве.