|
§ 9. Более общая задача о минимуме
квадратичного функционала
1.
В § 4 была поставлена вариационная задача для квадра
тичного функционала вида
F (и) = (Аи, и) — 2 (и, /).
Важной его особенностью являегся то, что его линейная часть
2 (к, / ) ограничена в исходном пространстве; в § 5 мы исполь
зовали эту особенность при доказательстве существования
обобщенного решения вариационной задачи.
Здесь мы рассмотрим задачу о минимуме квадратичного
функционала более общего вида
F (u ) = (Au, и) — 21 (и),
(1)
где
А
— положительно определенный оператор, действующий
в гильбертовом пространстве
Н,
а I — линейный (но не обя
зательно ограниченный) функционал в том же пространстве;
множитель
2
введен для удобства.
Введя энергетическое пространство
Н
а
оператора
А,
можно
записать функционал (
1
) в виде
F
(н) = | H f — 2/(и)
(2)
и рассматривать его как функционал, заданный на элементах
(некоторых или всех) энергетического пространства. Интерес
представляет тот случай, когда D (/) — область определения
функционала /— плотна в
НА;
очевидно,
D (F) = D(l).
Могут представиться две возможности.
1. Функционал / не ограничен в энергетическом простран
стве. В этом случае функционал
F
не ограничен снизу. Дей
ствительно, в этом случае существует последовательность {« „}
со свойствами
k
i
=
i
,
Изменив в случае надобности знаки у , элементов и„, можно
добиться того, что / (н„) -► -J- оо. А тогда
F(un)
= 1 — 2/ (ня) -* — оо.
Задача о минимуме функционала (
2
) в этом случае лишена
смысла.
2. Функционал I ограничен в энергетическом пространстве.
Тогда он может быть расширен по непрерывности на все это
пространство; тем самым на все пространство
НА
будет рас
ширен и функционал (2). По теореме Риса существует один
и только один элемент щ £ На- удовлетворяющий тождеству
/(гг) = [гг, г/„]. Теперь
Повторив без изменений рассуждения § 5, мы убедимся, что
элемент щ, реализует минимум функционала (
2
).
Если пространство Н
а
сепарабельно, то легко вывести
формулу, аналогичную формуле (5.11) и дающую решение
задачи о минимуме функционала (2). Пусть юя, и = 1, 2, .. ., —
последовательность, полная и ортонормированная в энергети
ческом пространстве, тогда
ОО
«о =
2
[Щ> “ л] «V
П~ I
В отмеченной выше формуле 1(a) — [и, щ] положим и — w„.
Тогда [щ, о)„] = К , м0] = / (с*>п) и, следовательно,'
СО
«# = X / К )(о п-
(3)
/
1=1
2.
Пусть А — оператор, рассмотренный в предыдущем
параграфе (формулы (3) и (
2
) §
8
); мы сохраняем введенные
в этом параграфе предположения о коэффициентах р (х ) и
y (jc ) и о функциях, образующих область определения опера
тора А Поставим задачу о минимуме квадратичного функ
ционала
F (н) = | м Р — 2 и (с ) ~
ь
— § [я (■*) ( ^ ) + Я (•*) Ы4] dx — 2и (с), а < с < Ь,
(4)
а
в энергетическом пространстве оператора А.
В частности, это
означает, что функция и, от которой зависит функционал (4),
должна удовлетворять краевым условиям
и (а) = и (Ь) = 0.
(5)
Нетрудно видеть, что линейный функционал 1(и) — и (с) огра
ничен в энергетической метрике. Действительно, по неравен
ству Буняковского
С
*
с
*
| и (с) |® =
5
и’ (-*■) dx
— а)^и'* x (d x )s ^ (c — а)^и'г (x)dx.
а
а
а
Но формуле (8.7)
I « Р = I \Р (* )
(■*) + q (х ) и* (* )] d x ^ p 0\ и'* (х ) dx,
а
а
поэтому
Ч
^
г
\ и
1
( 6 )
Формула (
6
) показывает, что в данном случае функционал I
ограничен, причем |/|
1/ -—
Решение нашей вариацион-
г
Р
О
ной задачи существует; по формуле (3) оно может быть пред
ставлено рядом
со
«о(*) = 2 М О “ «С*).
(7)
п —
I
где {w „}— система, полная и ортогональная в Н А. Ряд (
8
)
сходится в метрике пространства Н А, а следовательно, и
в метрике Ц (а , Ь).
Пример. Рассмотрим частный случай р (х) s i , q (x) =
0
, так
что Au==~ fa i- в 9Т0М случае систему, полную и ортонормиро-
ванную в энергетическом пространстве, образуют функции
. .
у '2 (Р — о)
. пк (х — а)
, „
и" (-г)==
„г.
s m— 6—
« = 1 .2 ,...;
доказать это мы предоставляем читателю. Минимум функционала
ь
• | «'* dx —
2
и (с),
и (а) — и (Ь) =
0
(
8
)
реализует функция
ОО
— а) X
1
. г,
--- ' > _ с.п
---- olll ------
о — а
b — а
„ t*\
^ (ft — а) V I 1
пк (с — а) . пк (х — в)
и о (х) = ■
■
■
■
■
■
■
,—
У — sm —г — — sin — v---- ’
л = I
Последний ряд легко просуммирован., если, например, составить
и решить уравнение Эйлера для функционала (
8
); это мы также
предоставляем сделать читателю.
5-1567
Do'stlaringiz bilan baham: |
