И здан и е второе, стереотипное

К 1 Р - Ч Н 2. 
К Г - * 1 « Г >
К 1 Р - * 1 « Г
( 8 )
Для функций ил формула (7) верна:
ь
| «л Г = S \Ри'п + ?«я] dx.
а
Из соотношений (
8
) вытекает, что при я ->• оо левая часть 
последнего равенства имеет пределом | u j3. Докажем, что 
предел правой части равен 
ь
^ [
р
1^2 "I- Яи*\ dx-
Имеем
ь 
ь
\ \Ри'п + ?Ия] d x — \ \ри!* -|- ?и5] dx
ь
^ P i ^ I «я* — 
I dx.-f- Яi $ | «я — «* I dx.
a 
a
По неравенству Буняковского
6
 I 
i 
s 
(Ь 
l
1
 /<
2 (b 
\1/2
§I «Я — M,S | dx «s 15 (ип 4- i f f dxj
!$(«;, — I l f dx | ==

---

Но |]н^||->||н'||, а тогда || н« + н'|| 
|| и; ||-|-1 и'|| есть вели­
чина ограниченная, поэтому
а
Аналогично доказывается, что 
ь
^ | 
и%
— иа | 
dx
-► О,
а
и формула (7) доказана для любой функции из Яд.
Теперь надо показать обратное, а именно, если функ­
ция и удовлетворяет трем сформулированным выше условиям, 
то и £ Н А. Последнее означает, что существует последова­
тельность { ип } со свойствами
| 
k „£ D 0 4 ), |н„ — нт | _ _ - ^
0
, | Ив — и|| —
0
.
I 
Чтобы это показать, разложим производную функции и в ряд 
' 
Фурье по косинусам
I 
00
it \
V
kn(x-a)
ч ( х )=  
2
 
cos — ^_а ■.
| 
Свободный член отсутствует, потому что
I 
6
а0
= ^
7
~
5
м' (jc) rf-KT =
[« (*) — « (в)] =
0
.
I 
«
I 
Интегрируя почленно, получим
I 
00
/ 
\ 
V
 
«. 
. kn(x
 —
а) 
. 
ак ( Ь
—
а) 
и (х )=  2 bh sin 
Ь „ =
*“ i
В качестве и„ достаточно взять частную сумму последнего 
ряда.
Обобщенное решение щ (х) задачи (1) — (
2
) существует 
и единственно; это — функция, реализующая минимум функ­
ционала энергии
F(m) = | m F -
2
(k, /) 
в энергетическом пространстве. Как показывает формула (7),

---

в нашем случае
ь
F (и) — \ [Р (■*) н
'8
+ q (лг) и* — 2f { x ) и] dx; 
(9)
а
будучи элементом энергетического пространства, функция и (jt) 
должна удовлетворять условиям (
2
).
Функция 
H
0
£ D (g ra d F ). 
Вариация 
функционала 
(9) 
в точке щ имеет вид
8
F(«o. ц) =  
ь
= 2 [\р (■*) «о (•*) П' (х ) + Я (х)Щ  (х )т](х )— f (x M x )] dx, ц £ Н А.
а
Она будет ограниченным в Lt (a, Ь) функционалом от -ц тогда 
и только тогда, когда этим свойством будет обладать интеграл 
ь
lp (x )tto (x )y ((x )d x ;
а
так же как и в простейшей вариационной задаче, доказывается, 
что для этого необходимо и достаточно, чтобы функция
р
( х
была абсолютно непрерывна и имела суммируемую
с квадратом производную на сегменте [а, Ь]. Но функция р (дг) 
строго положительна и непрерывно дифференцируема, и по­
следнее требование равносильно такому: щ (х ) абсолютно 
непрерывна на сегменте [a, b], a uj £ Ц (а, Ь).
Мы выяснили, между прочим, что если через А обозна­
чить расширение по Фридрихсу оператора А нашей задачи 
(формулы (3) и (2)), то область определения D (А ) этого рас­
ширения состоит из функций, обладающих следующими свой­
ствами: сами функции и их первые производные на сегменте 
[а, Ь\ абсолютно непрерывны, а вторые производные сумми­
руемы с квадратом; на концах сегмента эти функции обра­
щаются в нуль.