И здан и е второе, стереотипное

и
£
НА.
( 6 )
И з ф орм улы ( 6 ) д е л ается соверш ен но очевидны м , что 
мини­
мум ф ун кц и он ала 
F
в п ростран стве 
НА
д о с ти гае тс я на э л е ­
м енте а = и0 и т о л ь к о на этом элем енте. П р и этом очевидно, 
что
m in 
F ( u ) =
— | и , f .
(7 )
Т еорем а доказан а.
Элем ент 
щ
^
НА,
реализую щ ий минимум ф ун кц и он ала (2), 
будем назы вать 
обобщенным решением
у рав н ен и я
Au — f.
( 8 )
М ож ет случиться, что ы* £
D (А);
тогд а по те о р ем е 5.4.1 н0 
буд ет обычным реш ением уравнения ( 8 ).
Е сли э н ер ге ти ч е ск о е п ростр ан ство се п ар а б е л ьн о , то м ож но 
у казать простой прием, позволяю щ ий п о стр о и ть о б о б щ ен н о е 
реш ение уравнения (8 ). В сеп арабельн ом ги л ьб ер то в о м п р о ­
с т р ан с тв е су щ е ст в у ет полная счетная о р то н о р м и р о в а н н а я си ­
стема {%}:
(О , 
} ф к,
К
“ *] = * / * =
, 
. 
. 
/ . * = 1. 2 , . . .
( 1, 
) = к,
П усть н0 — о б о б щ ен н о е реш ение ур ав н ен и я ( 8 ). Р азл о ж и м
е го в ряд Ф урье по системе
ОО
«#== S f«o. u)fc]u)ft- 
(9)
I
Э тот р я д сходится в эн ергети ческ ой норм е: если мы полож им
П
< Р « = S [«о»
/г = 1
ТО |И 0 —
Я —* ОО
К оэф ф ициенты
Ф урье |г/0, <о*1 
л е г к о
вы ч и сл яю тся 
по 
ф о р м у л е (5): п олож ив в ней и = и>Л) находим
1
«о> 
—
Щ)-
( 10)

---

112 
МИНИМУМ КВАДРАТИЧНОГО ФУНКЦИОНАЛА 
[Гл. 5
1
О тсю да
СО
H o = S < / ’ »*)»*• 
о о
* = |
К ак б ы л о отм ечено, ряд ( И ) сходится в н орм е э н е р г е ­
т и ч ес к о го п р о ст р ан с тв а