И здан и е второе, стереотипное

а
£
D
(Л ), 
ц
£
НА>
то
[и, 71] = (ЛК, Tj) =
(V,
К]).

---

Д а л е е ,
N
н о п о ф орм уле (5.10)
Wk>
> )]==(/*. 1));
о к о н ч а тел ь н о
N
[вда К ) ] = £
ak (fk, -q) = (s№
тг|)
И
(
2
)
С истем а {/„} полна в 
Н,
п оэтом у м ож н о та к в ы б р ать
н а т у р ал ь н о е число 
N
и ко эф ф и ц и ен ты
ак,
чтобы им ело м есто 
н ер а ве н ств о
fl-o — ^лгЦ < е,
г д е е — произвольно зад ан н о е п о л о ж и т ел ьн о е число. Т еп е р ь
из ф орм улы (2 ) получаем
| и — 0* р = (г> —
s№
ч Х | г > — S j v l h l K y h l =
= ^ - | и — влг|.
Е сл и | гг — о д т |^ 0 , то отсю д а получаем н ер авен ств о
э т о
неравенство 
справедливо, 
очевидно, 
и 
то гд а, 
к о гд а 
|гг — o^5 = 0. Таким образом , есл и элем ен т 
u ^ D ( A ) ,
то его
м о ж н о с любой степенью то ч н о сти ап п р о к си м и р о вать ли н ей ­
ны ми комбинациями элем ен тов систем ы {»„}.
П у ст ь теперь 
и
£ 
НА.
М н о ж ест в о
D
(Л ) плотн о в Я д , 
п о э т о м у сущ ествует такой эл ем ен т 
и' 
£
D (А),
что
С д р у г о й стороны , к ак б ы л о т о л ь к о что д о к а за н о , с у щ е ­
с т в у е т номер 
N
и числа а ,, 
(ц,
. . . ,
ам
такие, что
|гг — а ^ | <
(
3
)

---

А т о гд а по н ер авен ств у т р е у го л ь н и к а
2
а * ' Р * | < е’
ч т о и д о к а зы в а е т лемму.
Т е о р е м а 5.6.1. 
Д л я того чтобы энергетическое про­
странство положительно определенного оператора было
сепарабельным, необходимо и достаточно, чтобы было
сепарабельным исходное пространство.
Н е о б х о д и м о с т ь .
П у сть
А
— п о л ож и тельн о о п р е д е ­
ленны й о п е р а т о р в ги л ьб ер то в о м п р о стр ан с тве 
Н
и пусть 
эн е р ге т и ч е с к о е п р о ст р ан с тв о
Н
а
сепарабельно. Т о г д а в нем 
с у щ е с т в у е т счетное п л о т н о е м нож ество {<]>„}. Д о к а ж е м , что 
о н о п л о тн о и в исходном п р о ст р ан с тв е 
Н.
П у ст ь и — н ек о ­
то р ы й эл ем ен т п р о ст р ан с тв а 
Н.
М нож ество э л ем ен т о в э н е р ­
гети ч ес к о го п р о ст р ан с тв а п ло тн о в исходном п р о ст р ан с тв е , 
п о это м у если зад ан о ч и с л о е ^ > 0 , т о м ож но в ы б р а т ь э л е ­
м ен т 
и' £ НА
так, чтобы ||н — и ' | ) < ^ .
Д ал ее, 
м о ж н о вы­
б р а т ь эл ем ен т 
так, чтобы
К - Ф . К ? .
З д е с ь 7 — п остоянная п о л о ж и тел ьн о й опред елен н ости , в х о ­
д я щ а я в н ер авен ств о (2.7). П о соотнош ению м еж д у старой и 
н о в о й норм ой (н ер ав ен с тво (3.3))
I K - I
v
I K
y
.
а п о н е р а в е н ств у т р е у го л ь н и к а
II« — Ф» И < II и — « 1 + 1 и' — «м < « .
П о с л е д н е е н ер а ве н ств о озн ачает, что п р о ст р ан с тв о
Н
с о д ер ­
ж и т п л о тн о е сч ет н о е м н о ж е с тв о {<}>„}, сл е д о в ате л ьн о , это 
п р о с т р а н с т в о се п ар а б е л ьн о .
Д о с т а т о ч н о с т ь . П у с т ь п р о ст р ан с тв о