И здан и е второе, стереотипное

bFi
(к, uj) = 2 1 $ 
[р
( х ) и 'т/ 
-\-q ( x )u i\
—
f ( x )
г,] 
d x
+
+ « » ( e ) i j ( a ) + p « ( ft) 4 ( f t ) l
ч 6
С “ ) [ в , 
Ь].
(1 9 )
*) Эти требования можно ослабить.
*) Условие 
р(
д: ) > 0 является для функционала (14) усилением 
условия Лежандра § 2, которое в данном случае имеет вид 
р ( х ) ^ 0 .
s) Исходя из свойств функции 
р(х),
легко доказать, что это 
условие равносильно такому: на сегменте 
[а, Ь]
производная 
и'(х)
абсолютно непрерывна, а 
и"
суммируема с квадратом.

---

П у ст ь
и
^ £ ) ( g r a d F s). Т огда правая часть в (1 9 ) есть 
ограниченны й в 
Lt
(а, 
Ь)
ф ункционал о т 
ц.
О н остан ется таким, 
р азум еется, есл и мы подчиним 
г\
каким -нибудь добавочны м
ограничениям . П о тр е б у ем временно, чтобы
■Ч(а) 
— ц(Ь) =
0.
(2 0 )
Т огда
ъ
ЬFt
(и, 
ц)
= 2 $ 
[р
( х ) ы Y
+ д { х ) щ — /
( * ) tj] 
dx;
а
мы о к азы в аем ся в услови ях п ростейш ей задачи вари ац и он ­
ного исчисления д л я ф ункционала (1 4 ) и можем утв ер ж д ать 
следую щ ее: если
u ( ^ D
(grad 
Ft),
т о
и’ (х)
аб солю тн о н еп р е­
ры вна, а 
(р(х)и '(х))'
квад ратично с у м м и р у ем а1) на сегм енте 
|а , 
Ь\.
П р и н яв э т о в о внимание, откаж ем ся о т д о п о л н и т е л ь ­
ны х огран и ч ен и й ( 2 0 ) и п роинтегрируем по частям первый 
член в (19):