И здан и е второе, стереотипное

Щ а, Ь),
и н т е гр а л ( 1 2 ) есть о гран и ч ен н ы й в этом п р о с т р а н ­
стве ф у н к ц и о н ал и, следов ательн о, 
и
D (g r a d
F).
Т е о р е м а
д о к азан а полностью .
Т аким о б р азо м , в рассм отренной нами задаче ф ун кц и и из 
области 
D(gradF)
необходим о у д о в л етв о р я ю т некотф ры м
краевы м условиям (в данном сл у ч ае — условиям ( 2 )), к о то р ы м
не о б я зат ел ь н о удовл етворяю т ф ункции из о б л а ст и
D(F).
Т ак и е усл о в и я назы ваю тся 
естественными
для ф у н к ц и о н ал а 
F.
В наш ем сл у ч ае к раевы е усл о в и я (2 ) — есте ств ен н ы е д л я 
ф у н к ц и о н ал а ( 1).
К р аев ы е условия, которы м у д о в л етв о р я ю т все ф ун кц и и
из об л асти D ( F ) , называю тся 
главными
для ф у н к ц и о н ал а 
F.
Так, д л я ф ун к ц и он ала простейш ей задачи в а р и ац и о н н о го и с­
числения к р а е в ы е условия (3 .1 0 ) гл. 3 — главны е.
Н е т р у д н о те п ер ь написать н ео б х о д и м о е у сл о в и е миниму­
м а — у р а в н е н и е
Э й л ера — для ф у н к ц и о н ал а (1). У р а в н е н и е 
Э й лера 
в д ан н о м случае св од и тся 
к д и ф ф ер е н ц и ал ьн о м у
ур ав н ен и ю
d дФ
d x д и ' '
(И)
ь
(
12
)
а
дФ
____
d д Ф _ _ „
ди 
d x ди'
(1 3 )
и к р аевы м условиям ( 2 ), при к о т о р ы х э ю у р а в н е н и е и н ад о 
и н тегри ров ать.

---

З а м е ч а н и е . Уравнение Эйлера можно было бы получить, 
не прибегая к теореме 4.6.1.
Пусть функция ы0 сообщает минимум нашему функционалу. 
Положим