И здан и е второе, стереотипное

и0(а)
=
А, и0(Ь) = В.
В качестве кривой, с которой будем 
сравнивать экстремальную, возьмем кривую, проходящую через 
точки 
(а,А)
и (
Ь,В)
(рис. 7), т.е. такую кривую, для которой 
и(а) — А,
и(Ь) — В
(на рис. 7 она обозначе­
на пунктиром). Тогда 
F(ii)^F(ua),
и мы оказались в условиях про­
стейшей 
задачи 
вариационного 
исчисления. А тогда функция 
и0(х)
должна удовлетворять уравнению 
(13). Но этого уравнения недоста­
точно: мы должны сравнивать и 0 
и с такими кривыми, которые не 
проходят через точки 
(а, А)
и 
(Ь, В),
например с кривой 
у
=
г= ых (
х)
на рис. 7.
Рассмотрим наряду с н0 функ­
ции «о -f- «ч, где а — произволь­
ное вещественное число, a 
t\
— 
непрерывно дифференцируемая функция, не подчиненная никаким 
краевым условиям. Тогда 
F(u0
+ a
n)^F(ua)
и, как обычно,
ь
bF
(и, 1)) = \ [ФвЧ + ФИ'VI 
dx-
а
Второй интеграл возьмем по частям. Получим
ь
bF
<«г0, г,) = Фи,,, |* + § [ ф и -
~
Ф„.] 
-Vtx,
а
и условие минимума принимает такой вид:
Фи' |дг_& ■*) W
— Ф a'
L -a7) (а ) — °-
В силу произвольности yj можно потребовать, чтобы ■>)(&) = 1, i t 0) — О* 
Тогда ФИ'|*_й = 0- Аналогично получим 
®и'\х_а -® -
2. Р ассм о тр и м т р и прим ера.
1. О п р ед ел ен н ы й на С (1) [а, 
Ъ]
ф ункционал