И здан и е второе, стереотипное

ь
§ [ й Р “ ° ( * ) ] V С*) 
d x
=
0
(e ) 1
(в) — ° ( Ь)
Ч 
(ЬУ
(5 >
а
Т о ж д е с т в о (5 ) верно д л я лю бой функции к} ^ С (1) 
[а, Ь].
Д о ­
пустим доп ол н и тел ьн о , что
■ц{а) — ц(Ь) = 0.
( 6 )
Т о гд а
»
Ш
? ’ ~
а д ] т / ( х ) £ / х = = о - 
( ? >
а
Т о ж д е с т в о (7 ) со в п ад ае т с тож деством (3 .2 2 ) гл. 3, и 
и з н его м ож но сд ел ать т о т ж е вывод:
X
=
Q (х)
- |- c o n s t = — ^ 
g (t) dt
-f- c o n s t
( 8 )
a
Э тим д о к а за н а н ео б х о д и м о сть утверж дения 2 ) теорем ы . 
Т еп е р ь ин теграл (3 ) м ож но взять по частям:
\ Ш ^ Х = - i Г х Ш Г'йХ + ^ {
а 
а
и д л я вари ац и и п о л у ч а ется следую щ ее вы раж ение:
8
F ( h ,
щ
) —
= S К *
~ ^ § b d x +
-
n
(9)
a
И н т е г р а л в (9) по п ред п олож ен и ю есть огран и ч ен н ы й в 
I a (a , 
Ь
) ф у н к ц и о н ал о т tj; огран и ч ен н ы м ж е в 1 9 (а , 
Ь)
ф ун к ­
ц и о н ал о м д о л ж н о б ы ть и вы раж ен и е
ij £ С ‘« [а, 
Ь).
Н о зн ачен ие ф ун кц и и
-ц(х)
в заданной точ ке е с т ь ф ункционал 
о т т), в 
Ц ( а , Ь)
неогран и ченн ы й . О тсю да сл е д у е т, что вы ра­

---

ж ение ( 1 0 ) б у д ет ограниченны м в 
Ц (а , Ь)
ф ун к ц и он алом
то л ь ко тогд а, к о гд а
Н ео б х о д и м о сть условий теорем ы д о к а зан а .
И з р ав ен с тва (9) теперь в ы тек ае т ф о р м у л а д л я гр ад и ен та :
Д о с т а т о ч н о с т ь . Если у сл о в и я 
1) — 3) теорем ы вы ­
полнены, то интеграл (3) мож но взять по частям. И сп о л ь зу я
к р ае вы е у сл о в и я ( 2 ), получим
В ы р аж ен и е в квад ратн ы х ск о б к ах ес ть элем ент п р о ст р ан с тв а