И здан и е второе, стереотипное

(х, z, р)
имеет при |/7 |-* -о о порядок роста | р |“, а ^ > 1 . 
Получен ряд теорем о разрешимости и дифференциальных 
свойствах решения вариационной задачи (9); во многих слу­
чаях оказалось, что требования, налагаемые на функцию ср, 
дальше ослаблять нельзя. Доказаны теоремы о разрешимости 
в классическом смысле квазилинейных эллиптических урав­
нений вида
d*z 
г\
aJk{x, z, D z ) ^ j ^ + a ( x , z, Dz ) =
О
(недивергентная форма), а также уравнений
^ a h(x, z, Dz )
-(- 
а
(х, 
z, Dz ) —
О
(дивергентная форма). Условия этих теорем указывают такое 
согласование порядков роста функций, входящих в уравне­
ние, при котором обеспечена та или иная регулярность ре­
шения. Подробное изложение всех относящихся сюда вопро­
сов можно найти в монографии [10] и в статье [8].
В последнее время появился ряд работ, в которых иссле­
дуются вырождающиеся вариационные задачи (случай а = 1 ) .
Эти задачи тесно связаны с классической задачей о мини­
мальной поверхности.
Ряд работ посвящен теоремам существования для урав­
нений типа Монжа — Ампера. В работах А. Д. Александрова 
были сформулированы в геометрических терминах некоторые

---

проблемы, связанные с построением выпуклых поверхностей 
по их внутренней метрике, интегральной гауссовой кривизне 
и другим характеристикам, и разработаны геометрические 
методы для решения этих задач. С точки зрения аналитиче­
ской речь идет здесь о построении обобщенных решений для 
некоторых специальных типов уравнений Монжа — Ампера. 
В случае, когда геометрические характеристики задачи суть 
функции достаточно гладкие, обобщенные решения также 
оказываются гладкими [14].
В последнее время исследованы (см. [3], [14]) обобщен­
ные решения для широких классов уравнений Монжа — Ам­
пера и их многомерных аналогов; для уравнений Монжа — 
Ампера в случае достаточной гладкости коэффициентов урав­
нений и краевых условий установлена гладкость обобщенных 
решений.
Обобщенные решения задачи Дирихле исследованы (см., 
например, [5] — [7]) для обширного класса квазилинейных 
сильно эллиптических систем произвольного порядка.

---

ЛИТЕРАТУРА
Л итература к разделу I
1. М и х л и н С. Г., Проблема минимума квадратичного ф ункционала.
Гостехиздат, 1952.
2. С м и р н о в В. И., Курс вы сш ей математики, т. V, изд.
Ф изм атгиз, 1959.
3 . С о б о л е в. С. Л., Н екоторы е п рилож ения ф ункционального ана­
лиза в матем атической физике, Л Г У , 1950.
Л итература