Кусочно-гладкие динамические системы с дискретным временем

ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ ПРОГРАММА
для базового докторанта Ж.Б.Усмонова на тему «Кусочно-гладкие динамические системы с дискретным временем» по специальности 01.01.01 –математический анализ

На первом этапе составляется программа исследования.

Программа исследования — это план, которому необходимо следовать, чтобы решить поставленную проблему, т.е. изложение общей концепции исследовательского проекта, заключающей в себе поэтапное программирование и правила процедур научно-практической исследовательской деятельности.
1. Теоретико-методологическая часть, которая позволяет определить научную проблему и подготовить основы для ее решения.
Теория динамических систем — это область математики, используемая для описания поведения сложных динамических систем, обычно с помощью дифференциальных или разностных уравнений. Когда используются дифференциальные уравнения, теория называется непрерывными динамическими системами. С физической точки зрения, непрерывные динамические системы являются обобщением классической механики, обобщением, в котором уравнения движения постулируются непосредственно и не ограничиваются уравнениями Эйлера – Лагранжа принципа наименьшего действия. Когда используются разностные уравнения, теория называется дискретными динамическими системами. Когда переменная времени работает над набором, который дискретен в некоторых интервалах и непрерывен в других интервалах, или является произвольным набором времени, таким как набор кантора, можно получить динамические уравнения на шкалах времени. Некоторые ситуации могут также моделироваться смешанными операторами, такими как дифференциально-разностные уравнения.
Теория динамических систем и теория хаоса имеют дело с долговременным качественным поведением динамических систем. Здесь основное внимание уделяется не нахождению точных решений уравнений, определяющих динамическую систему (которая часто бывает безнадежной), а скорее на ответах на такие вопросы, как «Будет ли система в долгосрочной перспективе стабилизироваться до устойчивого состояния, и если да, то, что возможны ли стационарные состояния? » или « Зависит ли долговременное поведение системы от ее начального состояния? »
Важной целью является описание неподвижных точек или стационарных состояний данной динамической системы; это значения переменной, которые не меняются со временем. Некоторые из этих фиксированных точек привлекательны, что означает, что, если система запускается в соседнем состоянии, она сходится к фиксированной точке.
Точно так же нас интересуют периодические точки, состояния системы, которые повторяются после нескольких временных шагов. Периодические точки также могут быть привлекательными. Теорема Шарковского является интересным утверждением о числе периодических точек одномерной дискретной динамической системы.
Даже простые нелинейные динамические системы часто демонстрируют на первый взгляд случайное поведение, которое называют хаосом. Ветвь динамических систем, которая занимается четким определением и исследованием хаоса, называется теорией хаоса.
Теория динамических систем оказалась мощным инструментом для анализа и понимания поведение разнообразных проблем. Там сейчас хорошо развита качественный или геометрический подход к динамическим системам, которые обычно опирается на эволюцию системы, определяемой плавной функцией его аргументы. Этот подход оказался чрезвычайно эффективным, помогая понять поведение многих важных физических явлений, таких как жидкость течения, упругая деформация, нелинейные оптические и биологические системы. Тем не менее, эта теория исключает многие важные системы, которые возникают на практике. Эти динамическая система, содержащая члены, которые являются негладкими функциями их аргументы. Проблемы такого рода возникают везде! Важными примерами являются электрические цепи, которые имеют переключатели, механические устройства, в которых компоненты сталкиваются друг с другом (например, механизмы передач) или имеют свободную игру, проблемы с трением, скольжением или визгом, многими системами управления (включая их реализацию с помощью адаптивных численных методов) и моделей в социальной и финансовые науки, где непрерывные изменения могут вызвать отдельные действия. Такие все задачи характеризуются кусочно-гладкими функциями, но событие в том смысле, что гладкость теряется при мгновенных событиях для. Например, после применения переключателя. У них есть захватывающая динамика с значительное практическое применение и богатая математическая структура. Серьезным упущением является то, что их поведение нелегко описать с точки зрения современная качественная теория динамических систем.
Обычно выраженная причина этого упущения состоит в том, что существует строго говоря, не такая вещь, как кусочно-гладкая динамическая система и что в на самом деле все физические системы гладкие (по крайней мере, на всех масштабах длины больше, чем молекулярный). Однако это утверждение вводит в заблуждение. Сроки над которыми происходят такие переходы, как удар или переключение закона управления Инженерная система может быть удивительно мала по сравнению с общей динамика, и, следовательно, правильная глобальная модель, конечно, прерывистая в макроскопическом масштабе времени. Кроме того, относительно простые явления при рассмотрении с точки зрения кусочно-гладких систем часто превращаются естественные пределы гораздо более сложных сценариев, наблюдаемых в более гладких системы.
Например, для кусочно-гладкой системы вполне естественно внезапный переход от сильно стабильного периодического движения к полномасштабному хаотическому движение при изменении параметра. В гладкой системе такой сценарий обычно требуется бесконечная последовательность бифуркаций, таких как знаменитый Фейгенбаумский каскад бифуркаций удвоения периода, приводящий к хаос.
Вторая причина исключения кусочно-гладких систем из устоявшаяся литература состоит в том, что они бросают вызов многим из наших предположений о динамику. Например, как мы можем определить такие понятия, как структурная стабильность, бифуркация и качественные меры хаоса в таких системах? Делая осторожные предположения о проблемах, которые мы исследуем, которые не являются противоречивыми с физическими проблемами, приводящими к ним, это станет очевидным что многие понятия когда-то считались областью гладких систем только естественным образом распространяется и на кусочно-гладкие. Но и это является основным направлением этой книги, есть также динамические явления, которые уникально для кусочно-гладких систем, которые, тем не менее, анализировать.
2. План исследования.