И здан и е второе, стереотипное

s
C0 —
con st ^ > 0 . П оста­
вим краевое усл ови е задачи Неймана
\A jh щ
cos (v> ^ * ) ] г = 0. 
(5 )
О п ератор 9t этой задачи положительно определен в 1 9 (й ), 
и задача Неймана корректна в паре пространств (Нщ, Lt (Q)). 
М етрика в Нщ определяется той же ф ормулой (4).
3. П усть теперь С ( х ) ~ 0 . В этом случае оператор 9?0 
задачи 
Неймана 
полож ительно определен 
в 
пространстве 
L g (Q ) — под пр остр ан стве пространства Z.9 (2 ) , ортогональном
к единице, и задача 
Неймана 
корректна в 
паре 
п р о ст­
ранств (И Ш
о> Lt {Q)).
§ 3. З а д а ч а Д и р и х л е
д л я о д н о р о д н о г о у р а в н е н и я Л ап л аса
П усть Г — регулярная поверхность и Q — область внутри 
или вне Г. П оставим задачу Дирихле для о д н ор од н ого урав­
нения Лапласа
Ди = 0, 
и
[г = 'f (лг). 
(1 )
Л егко указать пару пространств, в к о т о р о й эта задача 
корректна. М ож н о взять £ , = ( } ( § ) , В 9 — С ( Г ); через G\Q) 
мы обозначили под пр остр ан ство пространства С (Й ), обр а зо­
ванное функциями, гармоническими в £2 и непрерывными в 2

---

(см. следствие 11.9.1). Действительно, при любой функции 
( р £ С ( Г ) задача^ (1 ) имеет решение, и притом единственное, 
непрерывное в 2 . П усть дальше речь идет о внутренней за­
даче Дирихле. Из принципа максимума вытекает, что
max |
и ( х ) | == max \и ( х ) | == max | <р (_*)(,
х £9 
х£Г 
х£Г
ИЛИ
11“ I k = 1 1 ? к -
( 2 )
Если через R обозначить оператор, к отор ы й преобразует 
заданную функцию <р(х) в иском ую функцию и (х): u — R 
т о из равенства (2 ) будет вытекать, что § /? | | = 1 , и, сл е д о ­
вательно, задача (1 ) корректна.
Перейдем к внешней задаче Дирихле. П усть сперва т ^ >  2. 
Тогда из условия г;(лг) = 0(|лг|* т), | лг j —>- о о вытекает, что 
н ( х ) - * 0 . П остроим сф еру S# доста точ н о бо л ь ш о го радиуса R 
1*1-» 00
(рис. 20, стр. 261), так чтобы п овер хн ость Г лежала внутри 
сферы. В конечной области 2 ^ , ограниченной поверхностями 
Г и S