И здан и е второе, стереотипное

В%.

---

вательно,
Заменим, далее, элемент Ф на Ф -|- <р, где <р £ В %
,
и пусть 
измененное реш ение задачи (1 ) будет U -j-ti. Тогда A(U~\~ и ) =  
= Ф -j— ф. и так как А — линейный оператор, т о Alt — ср. 
Задача (1 ) корректна, п оэтом у если задано число е ^ > 0 , то 
м ож но найти такое число 
S 
0, что при ||<р||<^е будет
11 
и 
I = I R f  1 < 1 8 - Зафиксируем как *, так и со о т в ет ст в у ю щ ее
ем у 8. Если ф £
и |ф||= 1, то | у Ф | = у <С ® и» сл едо-
^ Т ^ | ” Т II ^ II ^ 8' 0 тсю д а
а э т о значит, что ||/?||=^~. Оператор R ограничен.
Д о с т а т о ч н о с т ь . Если оператор R су щ еств у ет, то 
задача (1 ) имеет не бо л е е од н ого решения. Если D (R) —  
т о задача (1 ) разрешима при любом Ф £ В%. Наконец, если 
R
—- ограниченный оператор, и || <р ||йа < е, т о || и ||я, = || R ||01 < 8, 
где 8 = е||/?||.
Важно подчеркнуть, что корректность или 
некоррект­
ность задачи зависит о т того, в какие пространства мы 
погруж аем данные и иском ы е величины; одна и та же задача 
м ож ет оказаться корректн ой в одной паре пространств и 
нек ор рек тн ой в др у гой . Более обстоятел ьно мы исследуем 
э т о т в о п р о с в § 8.
В за д а ч а х м а тем а ти ч еск ой физики (как и в анализе в о о б щ е ) 
н е к о р р е к т н ы е задачи и гр а ю т д ов ол ь н о важ ную рол ь. Так, напри­
мер, м о ж н о д о к а за ть , ч т о в паре п ростра н ств ( С 111 (Q), 
С
(Г )) задача 
Д и р и х л е для о д н о р о д н о г о уравнения Лапласа н ек ор р ек тн а , однако 
в м еха н и к е д е ф о р м и р у е м ы х ср е д (в частности, в теор и и у п р у г о с т и ) 
с э т о й за д а ч ей п р и х од и тся и м еть дело. Одна из п р о с т е й ш и х н ек ор ­
р е к т н ы х за д а ч — э т о н а хож д ен и е реш ения уравнения
Г ы = / ,
(2)
в к о т о р о м
Г — вполне н епреры вн ы й оп ер а тор , д е й ств у ю щ и й из 
б е с к о н е ч н о м е р н о г о б а н а х о в а п р остра н ства
X
в т а к ое ж е п р остр а н ­
с т в о
У.
Ч астн ы м сл у ча ем уравнения (2) является так н азы ваем ое 
и н те гр а л ь н о е у р ав н ен и е Ф р ед гол ьм а п ер в ого рода
| /<"(*, у) и (у) d y ^ z f( x ), 
где К
(*, у ) 
— ф р е д г о л ь м о в с к о е ядро.

---

Н е к о р р е к т н о ст ь задачи (2) легк о вы тек а ет из сл ед > ю щ и х с о о б ­
раж ен ий . Если б ы она была к ор р ек т н ой , т о су щ е ст в о в а л бы о г р а ­
ниченны й о п е р а т о р 7"-1 , а тогда тож д е ств е н н ы й о п е р а т о р / = Г ~ ‘ Г
бы л б ы вполне непрерывным в б е ск о н е ч н о м е р н о м п р о с т р а н ст в е
X■ 
В п о сл е д н е е время появилось м н ого р а б о т , п освя щ ен н ы х п ри - 
б ч и ж е н н о м у реш ен и ю н ек оррек тн ы х задач (р а зу м еется , при у с л о ­
вии, ч т о точ н ое реш ение с у щ е с т в у е т ). О д н ой из п ер в ы х в эт о м
направлении была р а бота А. Н. Т и х о н о в а [3], п р ед л ож и в ш его м е то д , 
осн ова н н ы й на том , что реш ение н е к о р р е к т н о й задачи р а ссм а тр и ­
вается как предел реш ений спец и ачьн ы м о б р а з о м п о ст р о е н н о й
п осл е д о в а т е ч ь н о сти к орр ектн ы х задач.