И здан и е второе, стереотипное

d
{
a
2). 
(4 )
Н етрудн о доказать, что при этом решение задачи (1 ) — (2) 
является обобщ енны м решением задачи Коши (см . § 6 гл. 21) 
для в о л н о в о го уравнения (1 ) при начальных усл ови ях (3,). 
Если бы А  был постоянным численным множителем, т о реш е­
ние задачи (3 ) — (3 ,) давалось бы формулой
и
(t) = c o s V A t f о 
• у~А 
rfi- 
(5 )
П окажем, что эта ф ормула остается в силе и в нашем случае,
т о л ь к о под символами c o s j ^ A t и -sin ^_At. сл едует понимать
у А
со о т в е т ст в у ю щ и е функции о т оператора А.
Ч исловы е функции co s V S t  и -s-‘n ^ f e . ограничены, поэтом у
V ^
при л ю бом t ограничены и операторы co s ^ A t ,
ф ормула 
(5 ) 
определяет 
функцию 
u(t)
с о
значениями 
в 
Н етрудно видеть, что и (t) 
D (A )
при любом t.
Д ействительно, 
самосопряженный 
оператор 
перестановочен 
с л ю бо й своей ограниченной функцией, поэтом у
Л ( c o s У М +  
j / ^ M - H s l n / A t ) V A ;
в сил у условий (4 ) имеет смысл выражение
Ли = = А  ( co s /Л ^ср0 ~ f
j =
= ( c o s \SAt) A(f0 -j- ( sin У At) У A'fi- 
(6)
Т еперь докажем, ч то функция (5 ) имеет в т о р у ю произ­
в о д н у ю по t, и вычислим эт у производную.

---

П усть 
— спектральная функция оператора А. О ператор А 
положителен, 
п оэтом у его спектр 
содерж ится в полуоси 
О ^ X 
о о . Имеем
оо 
ОО 
_
н ( / ) = = j* cos /Ш ®х<ро + J sin^ 3 --rfgx
( 7 )
О 
О
Полож им
СО