И здан и е второе, стереотипное

v
 
=
Г 
cos j / Ш & хсро, 
w ( t ) =
^ 
(8 )
О 
о
Мы утверждаем, что каждая из функций v (t) и w (t) 
имеет первую и втор у ю производную п о t, и эти произ­
водные мож но получить формальным дифференцированием 
интегралов (8). Доказательство проведем для функции v(t), 
для w  ( t) он о проводится так же с некоторы ми очевидными 
изменениями. Обозначим
00
(Y) — — ^ / X sin \Tkt cf@xcpo- 
(®)
О
Интеграл (9 ) сходится равномерно по t, так как
^ / X sin |/XW gx
If 
= ^ X s in * ]/X f Hrfg^cpo ||* ^
II 
Xl
Последний интеграл стремится к нулю при X,, Х , - > о о , так 
как сходи тся интеграл
I 
Х»И8х«р0Р = И тоР*
о
Теперь легко доказать обычными средствам и, что
л -Го Of
IIv (* + **) — ” № _ Vl (t)
и, следовательно, 
dv

---

Аналогично доказывается, что
СО
-dJ i
= — ■ jj X C°s ] / Ш § х<ро, 
о
со
w
~
~
\
/ ^ sin 
d & x ? f
Щ
о
Н о тогда су щ еств у ет вторая производная ~jj?, причем
~
=
—
J x J c o s
о +
rfg xCpi 
.
Правая часть последнего равенства равна — Аи и, сле­
довательно, функция и удовлетворяет уравнению (3).
Н етрудно доказать, что функция (5) удовлетворяет также 
начальным условиям (3j), понимаемым в следующ ем смысле:
lkn || и (() 
ф01] i 2 (£т ) — 0,

---

Р А З Д Е Л VII
КОРРЕКТНЫЕ И НЕКОРРЕКТНЫЕ ЗАДАЧИ
Г Л А В А 25
О КО РРЕКТН ОСТИ ЗА Д А Ч М А ТЕ М А Т И Ч Е С К О Й
ФИЗИКИ