И см еж ны е вопросы view project

 
 
 
 
 
 
  
 
ўқига нисбатан симметрик парабола
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     
 
 
 
      
 
     
 
 
 
       
 
 
 
   
 
 
 
       
 
 
 
 
 
     
 
     
 
 
 
       
 
 
 
   
 
 
 
       
 
 
 
 
 
      
 

---

- 76 - 
 
7.16. 
ИККИНЧИ  ТАРТИБЛИ  ЧИЗИҚЛАРГА  ДОИР 
ҚЎШИМЧА  ФОРМУЛАЛАР 
 
1). 
Маркази 
   
 
   
 
 
  
нуқтада бўлган айлана тенгламаси  
 
      
 
 
 
        
 
 
 
   
 
. 
 
2). Маркази 
   
 
   
 
 
 
нуқтада бўлган эллипс тенгламаси  
 
      
 
 
 
 
 
 
      
 
 
 
 
 
    
 
 
3). Маркази 
   
 
   
 
 
  
нуқтада бўлган гипербола тенгламаси  
 
      
 
 
 
 
 
 
      
 
 
 
 
 
    
 
 
4).  Учи 
   
 
   
 
 
   
нуқтада  бўлган  ва 
   
ўқига  нисбатан 
симметрик бўлган парабола  
 
      
 
 
 
          
 
  
 
 
5).    Учи 
   
 
   
 
 
   
нуқтада  бўлган  ва 
   
ўқига  нисбатан 
симметрик бўлган парабола  
      
 
 
 
          
 
  
 
 
6). 
      
 
 
 
        
 
 
 
   
 
 
 
айланага 
   
 
   
 
 
  
нуқтадан 
ўтказилган уринма тенгламаси. 
 
         
 
                
 
        
 
 
 
 
7). 
 
 
   
 
   
 
 
 
айлана учун уринма тенгламаси. 
 
     
 
       
 
   
 
 
 
 

---

- 77 - 
 
8). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
эллипсга 
   
 
   
 
 
 
нуқтадан  ўтказилган  уринма 
тенгламаси. 
     
 
 
 
 
     
 
 
 
    
 
 
9). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
гиперболага
     
 
   
 
 
 
нуқтадан  ўтказилган 
уринма тенгламаси. 
     
 
 
 
 
     
 
 
 
    
 
 
10). 
 
 
      
параболага 
   
 
   
 
 
 
нуқтадан  ўтказилган 
уринма тенгламаси. 
     
 
         
 
  
 
 
11). 
 
 
      
 
параболага 
   
 
   
 
 
 
нуқтадан  ўтказилган 
уринма тенгламаси. 
     
 
         
 
  
 
12). Эллипснинг диаметри тенгламаси. 
   
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

- 78 - 
 
8. 
ФАЗОДА АНАЛИТИК ГЕОМЕТРИЯ 
 
8.1.  
ФАЗОДА КООРДИНАТАЛАР СИСТЕМАСИ. 
 
      
Фазода бир бири билан перпендикуляр  бўлган учта тўғри 
чизиқни олайлик. Бу тўғри чизиқларнинг кесишиш нуқтасини 
 
 
билан белгилаймиз ва уни координата боши деб атаймиз.  
 
Чизмада кўрсатилганидек,  
    
абсциссалар ўқи дейилади. 
    
 
ординаталар ўқи дейилади. 
    
аппликаталар ўқи дейилади. 
  
,
   
,
   
 
ўқлар  орқали  ўтган 
текисликлар  фазони  8  та  қисмга 
ажратади.  Одатда  бу  қисмлар 
октанталар деб аталади. 
 
Декарт координаталар системаси билан цилиндрик 
координаталар орасидаги боғланиш
 
◙  
Цилиндрик координаталар 
системасидан Декарт 
координаталар системасига 
ўтиш: 
 
 
            
          
      
  
 
 
◙  
Декарт координаталар 
системасидан цилиндрик 
координаталар системасига 
ўтиш: 
 
 
      
 
   
 
 
     
 
 
 
      
 
 
0 
z 
М 
х 
х 
у 
у 
Апликата 
ўқи 
Абсцисса 
ўқи 
z 
Ордината 
ўқи 

---

- 79 - 
 
Декарт координаталар системаси билан сферик 
координаталар орасидаги боғланиш
 
◙  
Сферик координаталар 
системасидан Декарт 
координаталар системасига 
ўтиш: 
 
                  
                   
            
 
 
 
◙  
Декарт координаталар 
системасидан сферик 
координаталар системасига 
ўтиш: 
 
 
 
 
       
 
   
 
   
 
 
      
 
 
 
     
 
 
 
 
 
 
8.2.  
ТЕКИСЛИК. 
 
          
Фазода икки нуқта берилган бўлсин, бу нуқталардан бир 
хил  масофада  турган  нуқталар  тўплами(нуқталарнинг 
геометрик ўрни) текислик деб қаралади.  
 
8.3.  
ТЕКИСЛИКНИНГ УМУМИЙ ТЕНГЛАМАСИ 
 
                    
, 
 
бу  ерда, 
 
, 
 
, 
 
, 
   
сонлар  коэффициентлар  бўлиб, 
текисликнинг фазодаги вазияти шу коэффициентларга боғлиқ 
бўлади. 
 
, 
 
, 
 
 
текисликка перпендикуляр бўлган  
               
 
векторнинг  координата  ўқларидаги  проекцияларидир  ва  бу 
векторга текисликнинг нормал вектори деб аталади. 
 

---

- 80 - 
 
1).  Агар 
     
   
бўлса,   
                
   
текислик 
          
 
координаталар бошидан ўтади. 
2).    Агар 
     
   
бўлса,   
               
   
текислик 
  
 
ўқига 
параллел текисликни ифодалайди.  
3
).    Агар 
     
   
бўлса,   
               
   
текислик 
  
 
ўқига 
параллел текисликни ифодалайди.  
4).    Агар 
     
   
бўлса,   
               
   
текислик 
  
 
ўқига 
параллел текисликни ифодалайди.  
5).    Агар 
         
   
бўлса,   
           
   
текислик 
  
 
ўқидан 
ўтувчи текисликни ифодалайди.  
6).    Агар 
         
   
бўлса,   
           
   
текислик 
  
 
ўқидан 
ўтувчи текисликни ифодалайди.  
7).    Агар 
         
   
бўлса,   
           
   
текислик 
  
 
ўқидан 
ўтувчи текисликни ифодалайди.  
8). Агар  
а)   
             
   
бўлса,   
      
,    яъни 
     
 
текислик 
   
 
координата  текислигини ифодалайди. 
б) 
             
   
бўлса,   
      
,    яъни 
     
 
текислик 
   
 
координата  текислигини ифодалайди. 
в) 
             
   
бўлса,   
      
,    яъни 
     
 
текислик 
   
 
координата  текислигини ифодалайди. 
 
 
 
 
 

---

- 81 - 
 
8.4.  
ТЕКИСЛИКНИНГ  КЕСМАЛАР  БЎЙИЧА  ТЕНГЛАМАСИ 
 
        
Текислик  координата  ўқларини 
 
 
         
, 
 
 
         
, 
  
 
         
 
нуқталарда 
кесиб 
ўтсин. 
Бу 
нуқталарни 
текисликнинг умумий тенгламасига қўйиб чиқамиз.  
 
 
 
 
 
                              
 
бундан, 
     
 
 
  
келиб чиқади. 
 
 
 
 
                             
  
бундан, 
     
 
 
   
келиб чиқади. 
 
 
 
 
                             
  
бундан, 
     
 
 
   
келиб чиқади. 
Топилган 
коэффицентларни 
текисликнинг 
умумий 
тенгламасига  қўямиз. 
                        
 
 
   
 
 
   
 
 
         
. 
Натижада,  текисликнинг  кесмаларга  нисбатан 
ушбу тенгламасини ҳосил қиламиз.  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    
 
 
8.5.  
ТЕКИСЛИКНИНГ  НОРМАЛ  ТЕНГЛАМАСИ 
 
          
Координата 
бошидан 
текисликка 
туширилган 
перпендикулярнинг  узунлигини 
 
 
ва  шу  перпендикулярнинг 
  
,
   
 
ва
   
 
ўқларнинг мусбат йўналиши билан ҳосил қилган 
бурчаклари мос равишда 
 
, 
 
 
ва 
 
 
бўлсин. Берилган 
 
 
ва 
 
, 
 
, 
 
 
лар  ёрдамида  текисликнинг  фазодаги  вазияти  тўлиқ 
аниқланади. Текисликнинг нормал тенгламаси эса,  
 
                                       
 
бўлиб,  бунда   
   
 
       
 
       
 
     
. 

---

- 82 - 
 
8.6.   
БЕРИЛГАН  НУҚТАДАН  ЎТУВЧИ ТЕКИСЛИК 
ТЕНГЛАМАСИ 
 
         
Фазода  бирор 
   
 
   
 
   
 
 
 
нуқта  берилган  бўлсин. 
Текислик 
тенгламаси 
                    
 
бўлиб, 
у 
   
 
   
 
   
 
 
 
нуқтадан  ўтади  ва  ушбу 
  
 
    
 
    
 
       
  
тенгликни қаноатлантиради. Юқоридаги тенгликларни ҳадлаб 
айириб, қуйидаги тенгламага келамиз.  
 
                      
 
    
 
    
 
        
   
ёки  
 
       
 
           
 
           
 
      
 
 
8.7.  
ИККИ ТЕКИСЛИК ОРАСИДАГИ БУРЧАК 
 
Бизга   
 
 
     
 
     
 
     
 
   
   
ва   
 
 
     
 
     
 
     
 
   
  
текисликлар  берилган  бўлиб,  бу  текисликларнинг  нормал 
векторлари  мос  равишда 
 
 
          
 
   
 
   
 
 
 
ва 
 
 
          
 
   
 
   
 
 
 
бўлсин.  Икки  текислик  орасидаги  бурчак  деганда  бу 
текисликларнинг  нормал  векторлари  орасидаги  бурчак 
тушунилади. Яъни,  
 
      
 
 
         
 
     
  
 
        
 
      
 
 
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
  
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
  
текисликларнинг параллеллик шарти. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
    
текисликларнинг перпендикулярлик шарти. 

---

- 83 - 
 
8
.8.  
БЕРИЛГАН  НУҚТАДАН БЕРИЛГАН ТЕКИСЛИКГАЧА 
БЎЛГАН  МАСОФА
 
 
         
Фазода  берилган 
   
 
   
 
   
 
 
 
нуқтадан,  берилган  
                    
   
текисликгача  бўлган  масофа  қуйидаги 
формула ёрдамида ҳисобланади.  
 
   
   
 
    
 
    
 
    
  
 
   
 
   
 
  
 
 
8.9.  
БЕРИЛГАН УЧТА  НУҚТАДАН ЎТУВЧИ ТЕКИСЛИК 
ТЕНГЛАМАСИ 
 
         
Берилган  учта 
 
 
  
 
   
 
   
 
 
, 
 
 
  
 
   
 
   
 
 
, 
  
 
  
 
   
 
   
 
 
 
нуқталардан ўтувчи текислик тенгламаси.  
 
 
     
 
     
 
     
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
      
 
 
8.10.  
ФАЗОДА ТЎҒРИ ЧИЗИҚНИНГ УМУМИЙ ТЕНГЛАМАСИ 
 
Фазода  тўғри  чизиқнинг  умумий  тенгламаси  иккита 
 
 
 
ва 
 
 
 
текисликларнинг кесишиш чизиғи сифатида берилиши мумкин 
яъни,  
 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
     
 
     
 
     
 
    
 
 
     
 
     
 
     
 
    
          
 
Р
2
 
Р
1
 

 

---

- 84 - 
 
Агар  бу  текисликлар  параллел  бўлмаса,  у  ҳолда  (2)  система 
тўғри 
чизиқни(иккита 
текисликнинг 
кесишиш 
чизиғи) 
аниқлайди.  
Агар 
 
 
 
ва 
 
 
 
текисликлар параллел бўлса, 
   
 
тенглама тўғри 
чизиқни ифодаламайди. 
 
8.11.  
ФАЗОДА ТЎҒРИ ЧИЗИҚНИНГ КАНОНИК 
ТЕНГЛАМАСИ 
Фазода  тўғри  чизиқ  ўзининг 
 
 
  
 
   
 
   
 
 
 
нуқтаси  ва 
йўналтирувчи 
              
 
векторининг  берилиши  билан 
аниқланади. Тўғри чизиқнинг каноник тенгламасини келтириб 
чиқариш  учун  тўғри  чизиқнинг  ихтиёрий 
          
 
нуқтасини 
оламиз ва 
 
 
 
          
 
векторни топамиз яъни, 
 
 
 
                   
 
       
 
       
 
 
. 
 
 
 
 
          
 
ва 
  
 
векторларнинг коллинеарлигидан ушбу,  
     
 
 
 
     
 
 
 
     
 
 
 
 
тўғри чизиқнинг каноник тенгламасига эга бўламиз.  
 
8.12.  
ФАЗОДА ТУҒРИ ЧИЗИҚНИНГ ПАРАМЕТРИК 
ТЕНГЛАМАСИ 
 
Фазода тўғри чизиқнинг каноник тенгламасидан фойдаланиб, 
унинг параметрик тенгламасини тузамиз. яъни, 

---

- 85 - 
 
 
     
 
     
     
 
     
     
 
     
 
 
 
8.13.  
ФАЗОДА ИККИ НУҚТАДАН ЎТУВЧИ ТЎҒРИ ЧИЗИҚ 
ТЕНГЛАМАСИ 
 
Фазода 
 
 
  
 
   
 
   
 
 
 
ва 
 
 
  
 
   
 
   
 
 
 
нуқталардан ўтувчи тўғри 
чизиқни  қараймиз.  Йўналтирувчи  векторини 
      
 
 
 
            
 
деб 
оламиз,  яъни, 
      
 
 
 
                 
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
 
.  Бундан 
     
 
   
 
,   
     
 
   
 
,   
     
 
   
 
 
ларни
 
тўғри  чизиқнинг 
каноник тенгламасига қўйамиз,  
 
     
 
 
 
   
 
 
     
 
 
 
   
 
 
     
 
 
 
   
 
 
 
 
8
.14.  
ФАЗОДА ИККИ ТЎҒРИ ЧИЗИҚ ОРАСИДАГИ БУРЧАК.
 
 
Фазода икки тўғри чизиқ ўзининг каноник 
 
 
 
   
     
 
 
 
 
     
 
 
 
 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
   
     
 
 
 
 
     
 
 
 
 
     
 
 
 
 
 
 
тенгламалари  билан  берилган  бўлсин,  ва  бу  тўғри 
чизиқларнинг йўналтирувчи векторлари мос равишда, 
 
 
 
         
 
   
 
   
 
 
 
ва  
 
 
         
 
   
 
   
 
 
 
га тенг бўлсин.  

---

- 86 - 
 
Фазода  икки  тўғри  чизиқ  орасидаги  бурчак  деганда  бу  тўғри 
чизиқларнинг  йўналтирувчи  векторлари  орасидаги  бурчак 
тушунилади, яъни:  
 
      
  
 
  
 
   
 
    
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
  
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
  
 
 
◙  
Фазода тўғри чизиқларнинг 
перпендикулярлик шарти
 
агар 
 
 
   
 
 
бўлса,  
 
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
    
 
 
 
◙  
Фазода тўғри чизиқларнинг 
паралеллик шарти 
 
агар 
 
 
   
 
 
бўлса, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
8.15. 
ФАЗОДА ИККИ ТЎҒРИ ЧИЗИҚНИНГ БИР ТЕКИСЛИКДА 
ЁТИШ ШАРТИ 
 
Фазода икки тўғри чизиқ ўзининг каноник  
 
 
 
   
     
 
 
 
 
     
 
 
 
 
     
 
 
 
  
 
 
 
 
   
     
 
 
 
 
     
 
 
 
 
     
 
 
 
  
 
 
тенгламалари  билан  берилган  бўлсин. 
 
 
         
 
   
 
   
 
 
 
ва 
 
 
         
 
   
 
   
 
 
 
йўналтирувчи  векторлар. 
 
 
 
тўғри  чизиқ  

---

- 87 - 
 
 
 
  
 
   
 
   
 
 
   
нуқтадан, 
 
 
 
тўғри  чизиқ   
 
 
  
 
   
 
   
 
 
  
нуқталардан ўтади. 
 
 
 
ва 
 
 
 
тўғри чизиқлар битта текисликда 
ётиши  учун, 
 
 
 
 
                
 
        
 
    
 
аралаш  кўпайтмалар  нолга  тенг 
бўлиши керак, яъни,  
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
 
 
8.16.  
ФАЗОДА ТЎҒРИ ЧИЗИҚ ВА ТЕКИСЛИКНИНГ 
ЖОЙЛАШИШИ 
 
       
Фазода,  
   
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
  
тўғри  чизиқ  ва   
  
 
                    
 
текислик  берилган  бўлсин.  Бу  ерда,   
 
 
тўғри  чизиқнинг  йўналтирувчи  вектори 
              
 
га, 
 
 
текисликнинг нормал вектори  
               
 
га тенг бўлади
.  
 
8.17.  
ТЎҒРИ ЧИЗИҚ БИЛАН ТЕКИСЛИК ОРАСИДАГИ 
БУРЧАК. 
 
     
Фазода  тўғри  чизиқ  билан  текислик  орасидаги  бурчак 
деганда,  тўғри  чизиқнинг  йўналтирувчи  вектори 
  
 
билан, 
текисликнинг  нормал  вектори 
   
 
орасидаги  бурчак  синуси 
тушунилади.  
      
        
         
   
            
  
 
   
 
   
 
   
 
   
 
   
 
  
 

---

- 88 - 
 
8.18.  
ТЎҒРИ ЧИЗИҚ БИЛАН ТЕКИСЛИКНИНГ 
ПЕРПЕНДИКУЛЯРЛИК ШАРТИ. 
 
    
       
Агар 
        
   
бўлса,   
     
 
бўлади.  Натижада,  тўғри  чизиқ 
билан  текисликнинг  перпендикулярлик  шарти  қуйидагича 
бўлади.  
 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
8.19.  
ТЎҒРИ ЧИЗИҚ БИЛАН ТЕКИСЛИКНИНГ 
 
ПАРАЛЛЕЛЛИК ШАРТИ 
 
       
Агар 
        
   
бўлса,   
     
 
бўлади.  У  ҳолда,  тўғри  чизиқ 
билан текисликнинг параллеллик шарти қуйидагича бўлади. 
                           
 
 
8
.20. 
ТЕКИСЛИКЛАРНИНГ  КЕСИШИШ  ШАРТИ 
Фазода учта текисликларнинг кесишиш шарти.  
 
 
 
     
 
     
 
     
 
   
 
 
     
 
     
 
     
 
   
 
 
     
 
     
 
     
 
   
 
   
 
  
ёки   
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
      
 
 
 
 

---

- 89 - 
 
8.21. 
ТЕКИСЛИК ВА ТЎҒРИ ЧИЗИҚҚА ДОИР ҚЎШИМЧА 
ФОРМУЛАЛАР. 
1). 
Берилган 
 
 
  
 
   
 
   
 
 
   
нуқта  орқали  ўтиб,  берилган              
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
   
тўғри  чизиққа
 
параллел  бўлган  тўғри 
чизиқ тенгламаси.  
     
 
 
 
     
 
 
 
     
 
 
  
 
2). Берилган 
 
 
  
 
   
 
   
 
 
  
нуқта орқали ўтиб, берилган 
 
                    
 
текисликка  перпендикуляр  бўлган тўғри 
чизиқ тенгламаси.  
     
 
 
 
     
 
 
 
     
 
 
  
 
3). 
 
 
  
 
   
 
   
 
 
   
нуқтадан  ўтувчи  ва   
           
 
йўналтирувчи 
векторга параллел бўлган тўғри чизиқ тенгламаси.  
     
 
 
 
     
 
 
 
     
 
 
 
 
4).   
 
 
  
 
   
 
   
 
 
   
нуқтадан  ва 
     
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
   
тўғри 
чизиқдан ўтган текислик тенгламаси. 
  
 
     
 
     
 
     
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
       
 

---

- 90 - 
 
5). 
 
 
  
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
ва 
 
 
   
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
тўғри 
чизиқларнинг бир текисликда ётиш шарти. 
 
     
 
     
 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
 
6). 
   
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
тўғри чизиқнинг  
                       
  
текисликда ётиш шарти. 
 
                  
   
 
    
 
    
 
    
 
 
7).   
 
 
  
 
   
 
   
 
 
   
нуқтадан  ўтиб, 
   
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
   
тўғри 
чизиққа перпендикуляр бўлган  текислик тенгламаси. 
  
       
 
           
 
           
 
       
 
8
).  Ушбу     
 
 
 
     
 
     
 
     
 
    
 
 
     
 
     
 
     
 
    
 
     
тенглама  билан 
берилган 
тўғри 
чизиқнинг 
йўналтирувчи 
вектори, 
тенгламадаги  текисликларнинг  нормал  векторларини  вектор 
кўпайтмасига тенг бўлади, яъни:  
        
 
     
 
   
  
  
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
9). 
 
 
  
 
   
 
   
 
 
  
нуқтадан ўтувчи ва нормал вектори 
  
               
 
га тенг бўлган текислик тенгламаси.  

---

- 91 - 
 
       
 
           
 
           
 
       
 
10). 
 
 
  
 
;
 
 
;
 
 
 
 
нуқтадан ўтувчи ва иккита 
  
 
    
 
;
  
 
;
  
 
 
 
ва 
  
 
    
 
;
  
 
;
  
 
 
   
векторларга  параллел  бўлган  текислик 
тенгламаси.  
 
     
 
     
 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
 
11). 
 
 
  
 
;
  
 
;
  
 
       
 
  
 
;
  
 
;
  
 
 
 
нуқталардан ўтувчи ва  
       
;
 
;
  
  
векторга параллел бўлган текислик тенгламаси.  
 
     
 
     
 
     
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
       
 
12). 
 
 
  
 
;
  
 
;
  
 
 
 
нуқтадан  ўтувчи  ва  иккита 
 
 
     
 
   
  
 
      
 
   
 
ва 
 
 
     
 
     
 
     
 
   
 
текисликларга 
перпендикуляр  бўлган текислик тенгламаси.  
 
     
 
     
 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
 
13). 
 
 
  
 
;
 
 
;
 
 
       
 
  
 
;
 
 
;
 
 
 
 
нуқталардан ўтувчи ва  
 
                    
 
текисликка  перпендикуляр    бўлган 
текислик тенгламаси.  
 
     
 
     
 
     
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
       
 

---

- 92 - 
 
14). 
 
 
  
 
;
 
 
;
 
 
 
 
нуқтадан ўтувчи ва  
 
 
 
  
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
ва 
 
 
  
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
тўғри 
чизиқларга параллел текислик тенгламаси.  
 
     
 
     
 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
 
15). 
 
 
  
 
;
 
 
;
 
 
  
ва
   
 
  
 
;
 
 
;
 
 
 
 
нуқталардан ўтувчи  
 
   
   
 
 
   
 
 
   
 
   
тўғри  чизиққа  параллел    бўлган  текислик 
тенгламаси.  
 
     
 
     
 
     
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
       
 
16). 
     
 
    
, 
       
 
    
,
       
 
    
 
тўғри  чизиқдан  ва 
 
 
  
 
;
 
 
;
 
 
) 
нуқтадан  ўтувчи текислик тенгламаси.  
 
     
 
     
 
     
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
       
 
17
). Иккита 
     
 
    
, 
       
 
    
,
       
 
    
 
ва 
     
 
    
, 
       
 
    
,
       
 
    
 
параллел  тўғри  чизиқлардан  ўтувчи 
текислик тенгламаси.  
 
     
 
     
 
     
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
 
       
 

---

- 93 - 
 
18
).  Иккита 
     
 
    
, 
       
 
    
,
       
 
    
 
ва   
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
параллел  тўғри  чизиқлардан  ўтувчи  текислик 
тенгламаси.  
 
     
 
     
 
     
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
       
 
19).   
                    
 
текисликка перпендикуляр  бўлган 
ва 
     
 
    
, 
       
 
    
,
       
 
    
 
тўғри  чизиқдан  ўтувчи 
текислик тенгламаси.  
 
     
 
     
 
     
 
 
 
 
 
 
 
       
 
 
Мисол.
 
 
                 
                   
 
 
 
тўғри  чизиқнинг  умумий 
тенгламасини каноник кўринишга келтиринг.  
Е иш
.
 
     
 
деб  олиб, 
 
          
           
 
   
системадан 
 
 
          
 
нуқтани топамиз. 
     
 
деб олиб,  
 
          
            
 
  
системадан 
 
 
         
 
нуқтани  топамиз. 
 
 
   
ва   
 
 
   
нуқталардан  ўтувчи 
тўғри  чизиқ  тенгламаси 
 
   
 
 
 
  
 
 
   
 
 
 
  
 
 
   
 
 
 
  
 
 
га  асосан 
   
   
 
   
   
 
   
   
 
 
   
 
 
   
  
 
 
 
 
тўғри  чизиқнинг  каноник 
тенгламаси келиб чиқади. 
 

---

- 94 - 
 
Мисол.
 
 
 
 
   
  
 
   
 
  
 
      
                  
                   
 
 
тўғри  чизиқлар 
орасидаги бурчакни топинг. 
Е иш
. 
Маълумки  биринчи  каноник  тенглама  билан  берилган 
тўғри  чизиқ  учун   
 
 
                 
,  иккинчи  умумий  тенглама 
билан  берилган  тўғри  чизиқ  учун 
 
 
          
 
     
 
 
вектор 
кўпайтмага тенг ва  бу ерда,  
   
 
            
  
ва 
   
 
            
   
 
 
          
 
     
 
   
  
  
   
 
 
  
 
  
 
 
 
дан 
 
 
                  
 
га  эга 
бўламиз.  
  
 
    
 
 
скаляр кўпайтма нолга тенг, яъни  
  
 
    
 
              
 
 
ва  демак, 
      
  
 
   
 
   
 
    
 
 
   
формулага  асосан, 
      
 
 
бўлиши келиб чиқади.  
 
Мисол.
 
     
   
 
 
 
 
 
   
 
 
 
тўғри  чизиқ  билан 
                 
 
   
текисликнинг  кесишган  нуктасининг  координатасини 
топинг? 
Е иш
. 
Тўғри  чизиқни  параметрик  кўринишга  келтирамиз 
яъни, 
   
 
 
 
 
 
   
 
   
  
 
 
                            
, ёки 
 
 

---

- 95 - 
 
 
         
             
          
 
 
бу 
номаълумларни 
текисликнинг 
умумий 
тенгламасига қўйиб, 
   
параметрни топамиз.  
                                                      
 
Демак, 
 
         
             
          
     
     
      
      
 
 
ва 
           
 
нуқта  тўғри  чизиқ 
билан текисликнинг кесишиш нуқтаси бўлади. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

- 96 - 
 
9. 
ИККИНЧИ ТАРТИБЛИ СИРТЛАР.  
9.1.  
ЭЛЛИПСОИД  
 
 
2
2
2
2
2
2
1.
x
y
z
a
b
c



 
 
 
 
9.2.  
СФЕРА 
 
Хусусий  ҳолда, 
             
 
бўлганда  эллипсоид  маркази 
координаталар  бошида  бўлган  ва  радиуси 
 
 
га  тенг  бўлган 
сфера бўлади. 
 
 
 
 
                      
2
2
2
2
.
x
y
z
r



 
 
 
 
 
 
Маркази 
  
 
   
 
   
 
 
 
нуқтада ва радиуси 
 
 
га тенг бўлган сфера  
тенгламаси.
 
 

 
 

2
2
0
2
0
2
0
r
z
z
y
y
x
x






. 
 
z 
b 
c 
x 
y 
a 
0 
r 
z 
r 
x 
y 
r 
0 

---

- 97 - 
 
9.3.  
БИР ПАЛЛАЛИ  ГИПЕРБОЛОИД 
 
 
                                            
                           
                                                                  
1
2
2
2
2
2
2



c
z
b
y
a
x
 
    
 
 
9.4.  
ИККИ ПАЛЛАЛИ ГИПЕРБОЛОИД 
 
 
 
1
2
2
2
2
2
2




c
z
b
y
a
x
, 
   
 
 
 
 
9.5.  
КОНУС 
 
 
 
     
0
2
2
2
2
2
2



c
z
b
y
a
x
, 
 
 
 
 
z 
x 
b 
у 
0 
a 
c 
z 
x 
0 
y 
z 
x 
0   
y 

---

- 98 - 
 
9.6. 
ЭЛЛИПТИК  ПАРАБОЛОИД 
 
 
 
                                                                                        
 
 
 
 
 
      
 
9.7.  
ГИПЕРБОЛИК  ПАРАБОЛОИД 
 
, 
 
 
 
 
 
 
9.8.  
ЭЛЛИПТИК  ЦИЛИНДР 
 
 
 
 
 
 
 
 
z 
0 
x 
y 
x
a
b
y


 
x
a
b
y

 
0 
z 
y 
x 
a 
0 
b 
z 
x 
y 
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2


 
z
b
y
a
x
2
2
2
2
2


 
 
 
1
2
2
2
2


b
y
a
x
 

---

- 99 - 
 
 
 
 
 
 
 
 
9.10.  
ПАРАБОЛИК  ЦИЛИНДР 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
z 
0 
y 
x 
y 
z 
0 
x 
9.9.  ГИПЕРБОЛИК ЦИЛИНДР 
 
1
2
2
2
2


b
y
a
x
 
py
x
2
2

, 
   бунда,
  
0

p
 

---

- 100 - 
 
10. 
БАЪЗИ АЖОЙИБ ЭГРИ ЧИЗИҚЛАР 
10.1.  
БЕРНУЛЛИ ЛИМНИСКАТАСИ 
 
10.2.  
ЦИКЛОИДА 
                  
 
                  
 
 
 
10.3.  
КАРДИОИДА 
                  
 
 
 
10.4.  
АСТРОИДА 
 
         
 
   
         
 
   
 
    
ёки    
             
 
 
 
   
 
 
   
 
 
  
 
 
  
 
 
   
  
       
   
ёки 
 
   
 
   
 
 
 
     
 
   
 
  
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

---

- 101 - 
 
 
10.5.  ЛОГАРИФМИК 
СПИРАЛ 
         
    
 
 
 
10.6
.  АРХИМЕД СПИРАЛИ 
           
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5
5
1 0
1 0
5
5
 
 
   
 
   
 
   
 
 
 

---

- 102 - 
 
Адабиётлар 
 
1. Соатов Ё.У. Олий математика. 1-том.- Тошкент: Ўқитувчи, 1992.   
2. 
Шнейдер В. Е, Слуцкий А.И, Олий математика қисқа курси. 1-том.  
-
Тошкент: Ўқитувчи, 1985. 
3. 
Абдалимов Б.А. Олий математика. Тошкент: Ўқитувчи, 1994. 
4. 
Письменный  Д.Т.  Конспект  лекций  по  высшей  математике.  -М: 
Айрис-пресс, 2005-2006. 
5. 
Кругликов В.И. Основы высшей математики, ТГУ, 2004.   
6. 
Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике–М: Наука,1973.   
 
 
 
 
View publication stats
View publication stats