И см еж ны е вопросы view project

4.14
.  ПРОЕКЦИЯГА ДОИР  ҚЎШИМЧА ФОРМУЛАЛАР 
 
  
     
  
 
     
      
     
     
      
   
,        
  
  
 
            
      
     
    
    
, 
  
     
  
 
     
      
     
     
      
   
,        
  
  
 
            
      
     
    
    
, 
  
 
  
          
 
 
  
        
     
  
   
,        
  
 
  
            
 
 
   
              
     
  
   
. 
 
 

---

- 47 - 
 
 4.15.  
СКАЛЯР  КЎПАЙТМАНИНГ ХОССАЛАРИ 
 
1
0
. 
     
 
   
)
            
,  
2
0
. 
                                        
, 
3
0
. 
                
 
, 
4
0
. 
                                       
    
ва   
                                       
 . 
 
4.16.  
ПРОЕКЦИЯЛАРИ БИЛАН БЕРИЛГАН 
ВЕКТОРЛАРНИНГ СКАЛЯР КЎПАЙТМАСИ. 
 
Иккита
 
      
 
      
 
      
 
   
 
ва 
       
 
      
 
      
 
   
  
векторлар  ўзларининг  орт  (яъни  бирлик)  векторлари  билан 
берилган  бўлсин.  Бу  векторларнинг  скаляр  кўпайтмаси 
қуйидаги тенглик билан аниқланади. 
 
     
 
   
)
   
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
  
 
 
4.17
.  ВЕКТОРЛАР ОРАСИДАГИ БУРЧАК.  
 
Векторларнинг  скаляр  кўпайтмасидан 
фойдаланиб,  иккита 
  
   
ва 
   
 
векторлар 
орасидаги  бурчакни  топиш  формуласини 
келтирамиз. 
 
 
 
      
            
         
 
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
  
 
 
   
 
 
   
 
 
    
 
 
   
 
 
   
 
 
 
 
 

 

a
 

b
 
P
 

---

- 48 - 
 
◙
 
Иккита 
  
  
ва 
    
 
векторларнинг
 
перпендикулярлик шарти  
 
 
 
 
 
 
 
 
                      
 
 
       
 
 
    
  
ёки 
 
 
 
 
   
 
 
 
   
 
 
 
    
 
 
 
 
4.18.   
ВЕКТОРЛАРНИНГ ВЕКТОР КЎПАЙТМАСИ 
 
  
Иккита   
  
   
ва   
   
   
векторларнинг  вектор  кўпайтмаси  деб, 
шундай 
  
 
векторга айтиладики, бу вектор қуйидаги шартларни 
қаноатлантиради:  
 
      
   
вектор 
  
   
ва   
   
   
векторларга  перпендикуляр  яъни, 
       
 
ва 
        
.  
Бу шарт, вектор кўпайтма 
  
, 
  
 
ва 
   
  
векторлар 
ётган текисликка перпендикулярлигини билдиради. 
    
                  
         
 
           
 
 
 
вектор  орасидаги  бурчак.  Бу 
шарт 
  
 
векторнинг узунлиги томонлари 
  
 
ва 
   
   
векторлардан 
иборат параллелограммнинг юзига тенглигини билдиради. 
   
      
,
   
,
  
  
векторлар ўнг боғлам ҳосил қилади. Бу шартда  
  
  
векторнинг  йўналишини  шундай  олиш  мумкинки, 
  
 
вектор 
учидан  қараганда 
  
 
вектордан 
   
   
векторга  қараб  бурилиш 
соат стрелкасига қарама-қарши йўналишда бўлиши керак.  
Вектор кўпайтма 
        
 
ёки  
          
  
каби  белгиланади. 
 
2



 

b
 

a
 

---

- 49 - 
 
                                                 
 
                                                             
                  
         
 
 
 
4.19.   
ВЕКТОР  КЎПАЙТМАНИНГ ХОССАЛАРИ 
 
1
0
. 
                    
,  
2
0
. 
                                    
, 
3
0
. 
           
, 
4
0
. 
                               
, 
5
0
. 
            
, 
            
, 
             
    
ва   
 
                         
, 
                         
 ,  
                          
  
 
4.20.  
ПРОЕКЦИЯЛАРИ БИЛАН БЕРИЛГАН 
ВЕКТОРЛАРНИНГ ВЕКТОР КЎПАЙТМАСИ. 
 
     
Проекциялари  билан  берилган  иккита 
      
 
      
 
      
 
   
  
ва 
       
 
      
 
      
 
   
 
векторларнинг  вектор  кўпайтмаси 
қуйидаги формула ёрдамида аниқланади:
 
 
             
 
      
 
      
 
         
 
      
 
      
 
      
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
        
 
 
 
 
 
 
 
 
        
 
 
 
 
 
 
 
 
       
 
ёки,  
            
  
  
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.
 
 
 
 
   
 
  
 
               
 
 
 
 
 

---

- 50 - 
 
◙
 
Иккита 
  
  
ва 
    
 
векторларнинг коллинеарлик(параллеллик) 
шарти: 
               
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
◙
 
Иккита 
  
  
ва 
    
 
векторларга қурилган параллелограммнинг 
кичик диганолини топиш формуласи:  
 
 
                  
 
   
 
 
 
    
 
   
 
 
 
    
 
   
 
 
 
. 
◙
 
Иккита 
  
  
ва 
    
 
векторларга қурилган параллелограммнинг 
катта  диганолини топиш формуласи: 
 
 
                  
 
   
 
 
 
    
 
   
 
 
 
    
 
   
 
 
 
. 
◙
 
Иккита 
  
  
ва 
    
 
векторларга қурилган параллелограммнинг 
юзини топиш формуласи:  
 
      
                 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
◙
 
Иккита 
  
  
ва 
    
 
векторларга қурилган учбурчакнинг юзини  
топиш формуласи: 
  
 
        
 
 
 
            
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
4.21.  
ВЕКТОРЛАРНИНГ АРАЛАШ КЎПАЙТМАСИ 
 
Учта 
 
  
, 
   
, 
  
   
векторларнинг  аралаш  кўпайтмаси  деб, 
  
  
ва 
   
 
векторларни  вектор  кўпайтмасининг 
  
   
векторга  скаляр 

---

- 51 - 
 
кўпайтмасига  айтилади  ва 
               
 
ёки 
  
       
       
   
 
каби 
белгиланади.  
 
4.22.  
АРАЛАШ  КЎПАЙТМАНИНГ ХОССАЛАРИ 
 
1
0
.
 
                                                       
 
2
0
.
 
Агар  учта  вектордан  иккитаси  тенг  бўлса  ёки  параллел 
бўлса, аралаш кўпайтма нолга тенг бўлади.  
3
0
.
 
  
, 
   
, 
  
  
векторлар компланар бўлса,  
    
 
   
 
        
  
бўлади.    
 
4.23. 
ПРОЕКЦИЯЛАРИ БИЛАН БЕРИЛГАН 
ВЕКТОРЛАРНИНГ АРАЛАШ КЎПАЙТМАСИ. 
 
Проекциялари  билан  берилган  учта 
      
 
      
 
      
 
    
,  
       
 
      
 
      
 
   
 
ва 
      
 
      
 
      
 
   
 
векторларнинг 
аралаш  кўпайтмаси,  ушбу  учунчи  тартибли  детерминант 
ёрдамида топилади.  
  
 
   
 
                        
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
◙
 
 
   
             
   
параллелепипеднинг ҳажми 
◙
 
 
   
 
 
 
           
  
учбурчакли пирамиданинг ҳажми 
 
 
 

---

- 52 - 
 
           5.  
ТЕКИСЛИКДА АНАЛИТИК ГЕОМЕТРИЯ. 
5.1.  
ДЕКАРТ КООРДИНАТАЛАР СИСТЕМАСИ. 
Текисликда  ўзаро  иккита  перпендикуляр  тўғри  чизиқ 
олайлик.  Бу  тўғри  чизиқларнинг  бири  горизонтал  иккинчиси 
эса  вертикал  жойлашсин.  Бу  тўғри  чизиқларнинг  кесишиш 
нуқтасини 
       
 
деб  белгилаймиз  ва  уни 
координаталар 
боши
 
деб  атаймиз.  Горизонтал  тўғри  чизиқ 
-
абсцисса  ўқи, 
вертикал тўғри чизиқ 
  
-
ордината ўқи
 
деб аталади. Одатда  
  
 
ва 
  
 
ўқлари  битта  ном  билан    координата  ўқлари  деб 
аталади.  Координата  ўқлари  текисликни  тўртта  қисмга 
(чоракка) ажратади.  
       
Энди 
   
 
текислигида  ихтиёрий 
       
 
нуқтани қарайлик. Бу нуқтадан 
  
 
ва 
  
 
ўқларига  перпендикуляр 
тушириб,  уларнинг 
  
 
ва 
  
 
ўқлари 
билан кесишиш нуқталарини 
 
 
 
ва 
 
 
 
лар билан белгилаймиз.  
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
     
 
ва 
   
 
     
 
кесмаларнинг  узунликлари   
       
 
нуқтанинг координаталари дейилади.  
  
га
   
 
нуқтанинг абсциссаси дейилади.  
  
га
   
 
нуқтанинг ординатаси дейилади. 
   
 
текислиги Декарт координаталар системаси дейилади.  
  
 
ва 
 
 
ларга 
  
 
нуқтанинг координаталари дейилади.